a) Etudier la suite d'entiers u_n définie par u₁=1, u_n+1=u_n + u_p, où u_p est le premier terme de la suite qui soit au moins égal à u_n/2.
b) J'appelle U-décomposition d'un entier N l'ensemble u_a,u_b,...,u_i de termes de la suite, ayant pour somme N=u_a+u_b+...+u_i, en utilisant par priorité les plus grands termes : u_a est le plus grand terme au plus égal à N, u_b le plus grand terme au plus égal à N-u_a, etc.

Montrer que si uf et ug sont deux termes consécutifs d'une U-décomposition, uf>2ug.  Le nombre de termes de la 
U-décomposition de N est sa U-taille.
c) Deux joueurs prennent tour à tour des jetons dans un tas, selon la règle suivante : à chaque coup, le joueur prend au moins 
un jeton et au plus le double du nombre que vient de prendre son adversaire. Le gagnant est celui qui épuise le tas en prenant 
le ou les derniers jetons. En début de partie, le premier joueur peut prendre le nombre qu'il veut, à condition de ne pas prendre 
tout le tas. 
J'appelle ``coup S'' le coup consistant à prendre le plus petit terme de la U-décomposition du nombre de jetons restant dans le 
tas. Montrer que, si mon adversaire joue le coup S à partir du tas qu'il reçoit, réduisant de 1 la U-taille du tas, je ne pourrai pas 
jouer à mon tour le coup S, ni réduire la U-taille, et il pourra de nouveau jouer le coup S avec le tas résultant de mon coup. En 
déduire que ``jouer le coup S'' est la stratégie gagnante. 
Application : si la partie commence avec un tas de 2003 jetons, quel coup initial doit jouer le premier joueur ? 
d) Généraliser au jeu où le joueur prend au plus F(k) jetons, k étant le nombre que vient de prendre son adversaire, et F une 
fonction non décroissante. 

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2003