Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
E40064. Calculs de stratège Imprimer Envoyer
E4. Jeux de NIM et variantes
calculator_edit.png  

a) Etudier la suite d'entiers un définie par u1=1, un+1=un + up, où up est le premier terme de la suite qui soit au moins égal à un/2.
b) J'appelle U-décomposition d'un entier N l'ensemble ua,ub,...,ui de termes de la suite, ayant pour somme N=ua+ub+...+ui, en utilisant par priorité les plus grands termes : ua est le plus grand terme au plus égal à N, ub le plus grand terme au plus égal à N-ua, etc.

Montrer que si uf et ug sont deux termes consécutifs d'une U-décomposition, uf>2ug.  Le nombre de termes de la 
U-décomposition de N est sa U-taille.
c) Deux joueurs prennent tour à tour des jetons dans un tas, selon la règle suivante : à chaque coup, le joueur prend au moins
un jeton et au plus le double du nombre que vient de prendre son adversaire. Le gagnant est celui qui épuise le tas en prenant
le ou les derniers jetons. En début de partie, le premier joueur peut prendre le nombre qu'il veut, à condition de ne pas prendre
tout le tas.
J'appelle ``coup S'' le coup consistant à prendre le plus petit terme de la U-décomposition du nombre de jetons restant dans le
tas. Montrer que, si mon adversaire joue le coup S à partir du tas qu'il reçoit, réduisant de 1 la U-taille du tas, je ne pourrai pas
jouer à mon tour le coup S, ni réduire la U-taille, et il pourra de nouveau jouer le coup S avec le tas résultant de mon coup. En
déduire que ``jouer le coup S'' est la stratégie gagnante.
Application : si la partie commence avec un tas de 2003 jetons, quel coup initial doit jouer le premier joueur ?
d) Généraliser au jeu où le joueur prend au plus F(k) jetons, k étant le nombre que vient de prendre son adversaire, et F une
fonction non décroissante.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2003




  solution



 

 

 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional