On considère un point courant P sur un cercle (Γ) dans lequel est inscrit un quadrilatère ABCD. Les droites [PB] et [PC] rencontrent la droite [AD] respectivement aux points K et L. Déterminer les ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le triangle ABC. Par le point M du plan, on trace la parallèle à BC qui coupe AC en P et AB en P’, la parallèle à AB qui coupe BC en Q et AC en Q’ et la parallèle ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi Donner tout renseignement permettant de construire la figure suivante à partir du petit cercle dont le rayon est égal à l’unité:
De nombreux ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient l'hyperbole équilatère (H) d'axes Ox/Oy et les points A et B quelconques sur des branches différentes de (H) . Δ est la médiatrice de AB.Le cercle de ...
Sur un cercle on se donne 3 points A, B et C (B et C fixes) ; trouver lorsque A décrit le cercle le lieu des points caractéristiques du triangle ABC :
-- centre de gravité G,
-- orthocentre H,
-- ...
Considérons un triangle ABC, son cercle circonscrit de centre O, son cercle inscrit de centre I et les centres Ia, Ib et Ic des trois cercles exinscrits ; appelons A', B' et C' les milieux ...
ABCD est un quadrilatère convexe de périmètre p et dont les diagonales sont de même longueur d. Trouver la plus grande valeur possible de son aire.
Problème paru dans La ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le triangle ABC, et D, E, F les pieds des hauteurs issues de A, B, C. On prend sur AD le point A' tel que k = DA'/DA = 1/3, et les points équivalents B' ...
Soit un triangle scalène ABC. Le cercle de centre C et de rayon CA coupe la droite [AB] en un deuxième point D et le cercle de centre B et de rayon BA coupe la droite [AC] en un deuxième point E. ...
On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A1,A2,...,Ak. Soient O1 la point symétrique de O par rapport à la corde A1Ak-1 ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Un triangle ABC non isocèle est appelé par convention « moyen en A » si BC2 = AB.AC. On trace le cercle (Γ) de centre O circonscrit à un triangle ABC moyen en ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soit [AB] une corde horizontale tracée dans un cercle (Γ) de rayon R. On désigne par : (S1) et (S2) les arcs de cercle respectivement Sud et Nord de (Γ), P le ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABCD un tétraèdre dont les quatre faces ont la même aire. Montrer que les quatre faces sont isométriques, les longueurs des arêtes vérifiant :AB = CD et ...
Partant d'un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c'est le centre d'un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre La Confédération des Géomètres réclame plus de moyens. Réponse des patrons : « Vous disposez déjà d'un moyen. S'il est adapté et que vous le partagez en deux, ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soit un carré ABCD. On désigne par : K un point sur [CD], M, L deux points sur (AB) tels que le triangle KLM soit équilatéral, P, Q les points d'intersection respectivement ...
Zig a ramené 13 balles de la dernière finale de Wimbledon et a décidé de les envoyer à Puce par colis postal. Il dispose d’une boite rectangulaire dont les diagonales des faces mesurent respectivement ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne le triangle ABC et deux droites orthogonales Δ1/Δ2 qui se coupent en un point O fixe. Q1 Déterminer les points A' sur BC, B' sur CA, et C' sur AB, tels ...
Résoudre cos x.cos(2x).cos(4x)=1/8.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2019
solution
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne le triangle ABC et deux droites orthogonales Δ1/Δ2 qui se coupent en un point O fixe. En reprenant l’énoncé du problème D1880 - Directions à respecter ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABCD un tétraèdre quelconque. Soit G son centre de gravité et O le centre de sa sphère circonscrite. Soit M le point de Monge défini par : ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le triangle ABC et 3 céviennes concourantes en M. On construit les points D sur BC, E sur AC et F sur AB de sorte que les droites [EF],[FD] et [DE] sont respectivement ...
Problème proposé par Michel Lafond Dans le plan on a 5 points A, B, C, D, E. Sur les dix distances qui séparent les points pris deux à deux, sept d’entre elles exprimées en mm sont connues : ...
Problème proposé par Pierre Renfer On dit qu’un tétraèdre ABCD est orthocentrique si ses quatre hauteurs (les droites passant par un sommet et perpendiculaires à la face opposée) sont concourantes ...
Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient l'ellipse Γ de foyers F et F' et P un point courant sur Γ. On trace les droites PF, PF' et leurs perpendiculaires en F et F'. Ces dernières se coupent ...
Dans ce triangle pythagoricien (triangle rectangle à côtés entiers), le carré du périmètre est un multiple exact de l'aire. Quel est son plus petit angle ?
Problème paru dans La Jaune et la ...
Quels triangles ont 3 côtés mesurés par des entiers consécutifs, et une aire mesurée par un entier de moins de 6 chiffres ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2020
...
Problème proposé par Bernard Vignes On trace un triangle rectangle isocèle OAB de côtés OA = OB = a et le cercle (Γ) de centre A et de rayon AB . D’un point P situé sur la médiatrice de OA et extérieur ...
Un polyèdre convexe flotte à la surface de l’eau. Est-il possible que 90% de son volume se trouve en dessous du niveau de l’eau tandis que plus de la moitié de sa surface est à l’air libre ?
Thérèse ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient le triangle ABC, un cercle (Γ) passant par B et C, et le point M variable sur (Γ) . Les points M’ et M’’ sont les symétriques de M par rapport à ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu’un tétraèdre est pythagoricien s’il vérifie les deux conditions - Ses 6 côtés sont des nombres entiers tous distincts ; - ...
Problème proposé par Dominique Roux Un angle de grandeur constante et de sommet A coupe une droite donnée en deux points B et C Q1 Quelle est l'enveloppe du cercle (ABC) ? Q2 Quel est le lieu du centre ...
Dans un triangle ABC on trace les points A’,B’ et C’ qui sont les réflexions des sommets A,B et C par rapport à un point P quelconque. Q1 Démontrer que les cercles (A’BC), (B’CA) et (C’AB) sont concourants ...
Déterminer le plus grand entier n tel qu’un polygone régulier de n côtés peut être inscrit dans un cube (i.e. les sommets du polygone sont situés sur les arêtes ou sur les faces du cube.
Daniel ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le segment AB et le point C sur la médiatrice de AB. On trace le cercle Γ de centre C et de rayon r ≤ CA. La médiatrice de AC coupe en O la parallèle ...
Problème proposé par Dominique Roux Pas une ride,trois quarts de siècle plus tard(1) Un plan P glisse(2) sur lui-même et prend des positions P1,P2,P3 . Un point M de P devient M1,M2,M3. Q1 Quel est ...
Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courant M sur la droite [BC] distinct du pied de la hauteur issue de A. Soit O1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire ...
Soit le triangle ABC, O le centre du cercle circonscrit. Un cercle Γ, passant par A et centré sur la hauteur abaissée de A, coupe AB et AC en P et Q. On suppose que BP.CQ = AP.AQ.
Montrer que le cercle ...
Quel est le plus petit tétraèdre dont les 6 longueurs d'arêtes sont des entiers consécutifs ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2020
solution
Dans un cercle (Γ) de rayon r, on trace une corde AB de longueur > r puis un point P sur cette corde tel que AP = r. Soit le point C sur (Γ) tel que CP = BP. La médiatrice de BP coupe (Γ) en deux ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le triangle scalène ABC, (Γ) son cercle circonscrit, I le centre de son cercle inscrit (γ) et un point D variable sur le côté BC.Les tangentes à (γ) ...
Problème proposé par Bernard Vignes Pour quelles valeurs de l’entier n ≥ 3, est-il possible de tracer dans le plan une ligne brisée fermée de 2n segments de droite de sorte que chaque segment croise ...
Soit un triangle ABC et une sécante DEF (D sur BC, E sur CA, F sur AB). On suppose AB+BD=AE+ED. Montrer qu'alors AC+CD=AF+DF.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2020 ...
Le triangle ABC est isocèle (AB=AC), de même que le triangle BAD (BA=BD). La droite AC est perpendiculaire à BD et sépare B et D. Combien vaut la somme des angles (CA,CB)+(DA,DB) ?
...
Soit un cercle Γ de centre O et de rayon R, et un point extérieur A. BC est un diamètre variable de $\Gamma$.
a/ Lieu de l'orthocentre du triangle ABC.
b/ Montrer que le cercle circonscrit et ...
Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Q₁ On trace un triangle ABC et un point P du plan (strictement intérieur ou extérieur au triangle). Soient trois droites perpendiculaires aux droites [PA],[PB] ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Zig a une curieuse méthode pour construire ou mesurer un angle xÔy quand il a oublié son rapporteur et sa calculatrice . Il place les points A et P sur [Ox) ...
Construire le ou les triangles pythagoriciens (rectangles à côtés entiers) de périmètre 1000. Y en a-t-il de périmètre 2021 ? Dans la négative, quels sont les triangles pythagoriciens de périmètres ...
Dans le triangle ABC, on construit le cercle tangent intérieurement au cercle circonscrit ainsi qu'aux côtés AB et AC. Montrer que la corde des contacts avec les côtés passe par le centre du cercle ...
Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ). On désigne par Ha l’orthocentre du triangle BCD et par Pa ,Qa et Ra les projections de A sur les droites BC,CD et DB. De manière analogue on définit ...
Problème proposé par Pierre Jullien Ci-contre quatre cercles B, N, R,V, de même rayon, passent par un même point O. On trace les quatre cercles: b passant par les points d'intersection (autres ...
On découpe un carré en n triangles rectangles tous semblables dont les dimensions des hypoténuses sont toutes différentes. Q1 Quelle est la plus petite valeur possible de n ? Donner les ...
A l’intérieur d’un cercle (Γ), on trace un quadrilatère complet ABCDEF avec AC coupant BD en E et BC coupant AD en F. Soit un point P sur la circonférence de (Γ). Les six rayons laser PA,PB,PC,PD,PE,PF ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne le diamètre DD’ d’un cercle (Γ) .A est un point courant de ce cercle. On trace le cercle (Γ₁) est tangent intérieurement à (Γ) au point D. E est la deuxième ...
Problème proposé par Dominique Roux Ce problème est le premier épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème: Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ? On considère un quadrilatère ...
Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages…. Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C) habitent le long du chemin des Matheux selon le plan ci-après
Trois routes ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Q₁ Soient deux droites D1, D2 et un point P quelconques du plan. Construire le ou les cercles tangents aux deux droites et passant par P. Q₂ Soient deux droites ...
Soit un triangle ABC ayant H pour orthocentre, I pour centre du cercle inscrit, G pour centre de gravité et O pour centre du cercle circonscrit. On désigne par: - Ha et Hb les pieds des hauteurs issues ...
ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (Γ). Un point X intérieur à ce quadrilatère se projette sur les côtés AB,BC,CD et DA respectivement aux points P,Q,R et S . Déterminer la position ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit un triangle ABC d'orthocentre H et de cercle circonscrit (Γ ) de centre O et de rayon ρ. A partir d’un point quelconque P du plan, on trace le point ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Une feuille A5 est posée sur une feuille A4. Trouver les centres de similitude directe de ces deux feuilles, avec un crayon et comme seul outil une règle ...
Diophantiana Montagna peut être assimilée à un cône de sommet S dont l’apothème SD1 (voir figure ci-contre) vaut quatre fois le rayon de la base circulaire OD1. Le long d'une génératrice Sxi, ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit (Γ) le cercle circonscrit d’un triangle ABC. Soient I, J, K les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]. Trois droites, de même direction d, passant par A, B, ...
Le cube et la pyramide à base pentagonale sont deux exemples de polyèdres de genre 0 (homéomorphes à la sphère) à 6 faces (hexaèdres). Pouvez-vous en trouver d'autres~?
Problème paru dans ...
Problème proposé par Pierre Jullien Un puzzle est vendu dans une boite carrée (image ci-dessus). Il contient quatre pièces jaunes et une carrée, qui touche le bord de la boite par deux de ...
Problème proposé par Pierre Renfer
Soit ABC un triangle. La bissectrice intérieure issue de A coupe la médiatrice de [AB] en P, celle de [AC] en U et celle de [BC] en K. La bissectrice intérieure ...
Problème proposé par Pierre Jullien En géométrie euclidienne, l'aire d'un triangle OUV vaut (xU*yV - xV*yU)/2 . Les aires du parallélogramme OUWV et du polygone ABCDEF ci-contre, sont donc égales. ...
On dispose de deux tétraèdres en bois ABCD et A’B’C’D’ rigoureusement identiques. Démontrer qu’il est possible de donner : - un coup de scie sur l’un et l’on obtient une face carrée de 1cm au ...
Problème proposé par Dominique Chesneau ...
Soit BC une corde d’un cercle (Γ) de centre O. A partir d’un point courant P de la droite [BC], on trace le cercle circonscrit au triangle BOP qui coupe le cercle (Γ) en un deuxième point A. Déterminer ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On se donne douze points du plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais alignés .Montrer qu’on peut toujours trouver six segments disjoints dont ces points ...
Dans un triangle ABC non équilatéral les points O et I sont respectivement le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit. La droite symétrique de la droite (BC) par rapport à la droite ...
Est-il possible de réaliser la dissection d’un polygone en quatre triangles isocèles qui, pris deux à deux, ne sont jamais congruents(1), si le polygone est : a) un hexagone régulier ? b) un pentagone ...
Problème proposé par Georges Camguilhem Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle (Γ). La bissectrice intérieure de l’angle en A coupe (Γ) en A1, celle de l’angle en B en B1 et celle de l’angle en ...
Problème proposé par Dominique Chesneau J’ai dessiné plusieurs triangles dont l’intérieur enferme un seul nœud d’un quadrillage orthonormé (sans limite) et dont les sommets sont aussi des nœuds de ...
Etant donnés deux cercles (C) et (C') tangents en T, et deux points fixes A et A' sur la ligne des centres, on considère une sécante variable issue de T et qui coupe (C) et (C') en M et N.
Lieu géométrique ...
L’énoncé ci-après regroupe deux problèmes d’olympiades chinoises de mathématiques, l’un et l’autre à la recherche de deux droites perpendiculaires. Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et dont l’angle ...
Un triangle est déterminé par la donnée de son périmètre 2p et des rayons r et R des cercles inscrit et circonscrit. Montrez-le en établissant l'équation dont sont racines les longueurs des côtés. ...
Un triangle ABC se déplace dans le plan, ses côtés AB et AC restant respectivement tangents à deux cercles fixes (Oc) et (Ob). Quelle est l'enveloppe du côté BC ?
Problème paru dans La Jaune et la ...
Trouver les points à coordonnées entières du paraboloïde hyperbolique d'équation z2=4xy-x-y
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2022
solution
A,B,C et D sont quatre points de l’espace tels qu’au plus l’une des six distances AB,AC,AD,BC,BD et CD est plus grande que 1. Calculer la valeur maximale de la somme de ces six distances.
Jean-Louis ...
Soit le diamètre AB d’un demi-cercle (Γ). On trace un point courant P de ce diamètre et deux points C et D sur (Γ) avec A,C,D,B dans cet ordre de sorte que du point P les cordes AC,CD et DB sont vues ...
Zig et Puce décident de carreler deux pièces carrées avec des Emaux de Briare l’une qui a moins de 5 mètres de côté avec m² = m x m carreaux carrés et l’autre qui a plus de 6 mètres de côté avec n² ...
Problème proposé par Pierre Jullien Grand Papy ...
Une boite rectangulaire ABCDEFGH a respectivement pour dimensions : AB = 19, AD = 20 et AE = 21. Elle comporte une minuscule ouverture à chacun des sommets. Une particule P est projetée à partir ...
Problème proposé par Pierre Renfer Q1 Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé Pour quelles valeurs de l'entier, existe-t-il un polygone régulier dont les n sommets ont des coordonnées ...
Problème proposé par Olivier Eveilleau Un cercle (C) de centre O étant donné, construire un cercle (C’) orthogonal à (C) passant par deux points donnés A et B intérieurs au cercle (C).Justifier ...
Problème proposé par Stan Wagon
Daniel Collignon,Dominique Chesneau,Jean Moreau de Saint Martin,Maurice Bauval,Marc Humery,Michel Goudard,Pierre Henri Palmade,Pierre ...
Il est bien connu que dans tout triangle les trois hauteurs issues des sommets ainsi que les trois médianes et les trois bissectrices sont concourantes. Puce annonce fièrement à Zig : « J’ai dessiné ...
Sur l'axe Ox sont marqués deux points fixes A(a,0) et A'(-a,0), et deux points variables M(m,0) et M'(m',0) dont les abscisses sont liées par la relation mm'-R(m-m')-a^2=0.
Trouver l'enveloppe ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soient ABC un triangle et H son orthocentre. Soient I, J, K, les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB]. Le cercle de centre I, passant par H, coupe la ...
Problème proposé par Pierre Renfer Dans un triangle ABC, on note A’, B’, C’ les points de contact des cercles exinscrits face à A, B, C avec les côtés respectifs [BC], [CA],[AB]. Montrer que le centre ...
Problème proposé par Pierre Renfer Dans un triangle ABC, on note D, E, F les points de contact du cercle inscrit face à A, B, C avec les côtés respectifs [BC], [CA], [AB]. La perpendiculaire à (FD), ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle. La médiatrice de [BC] coupe (AC) en B1 et (AB) en C1 . La médiatrice de [CA] coupe (BA) en C2 et (BC) en A2. La médiatrice ...
Q1 Démontrez qu’il existe un triangle non isocèle, appelé triangle magique, dont la hauteur ha issue du sommet A, la médiane mb issue du sommet B et la bissectrice bc issue du sommet C ont la ...
Q1 Sur le côté BC d’un triangle scalène ABC (BC = a, CA = b, AB = c), tracer à la règle et au compas un point P tel que les cercles inscrits des triangles ABP et ACP ont même rayon r. Q2 Sur la droite ...
Dans le plan, on considère trois cercles (C1), (C2), (C3) extérieurs les uns aux autres. Un point P du plan, extérieur aux trois cercles, est dit exceptionnel si les polaires de P par rapport ...
Les triangles rectangles ABC et BCD ont la même hypoténuse BC. AB=5, AC=10, CD=2. AC et BD se coupent en E, quelle est l'aire commune aux triangles ABC et BCD ?
Problème paru ...
