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D. Géométrie

D3. Cubes, parallélépipèdes et sphères

D377. Randonnées montagnardes

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D377. Randonnées montagnardes

D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres

Diophantiana Montagna peut être assimilée à un cône de sommet S dont l’apothème SD₁ (voir figure ci-contre) vaut quatre fois le rayon de la base circulaire OD₁.
Le long d'une génératrice Sx_i, on considère les couples de points (D_i,A_i), i = 1,2,…,k, tels que D_i est le point de départ de la plus courte randonnée r_i qui fait le tour de la montagne en passant par le point le plus élevé où se trouve l’unique refuge R avant de se terminer au point d’arrivée A_i.
Quelle que soit la randonnée, toutes les distances SD_i, SA_i, les parcours D_iRA_i s’expriment en nombres entiers de mètres. Il en est de même de SR distance du refuge au sommet.
Sachant que D₁ est le point de départ le plus éloigné de S avec SD₁ = 3000 mètres, démontrer qu’on sait tracer six parcours de randonnées distincts passant tous par R. Déterminer les points de départ par rapport au sommet S, les longueurs respectives de ces parcours ainsi que la distance SR.

Solution