Problème proposé par Pierre Leteurtre
Déterminer tous les termes en base 10 des huit additions ci-après. Elles sont justes, mais le terme de gauche et les deux termes de droite sont écrits ...
Problème proposé par Bernard Vignes Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et occupent des places consécutives. Les 74 autres pièces ont le même poids ...
On se fixe un entier N > 1 et le jeu consiste à trouver (si elle existe) une liste (L) d’entiers naturels > 1 à partir de laquelle on peut obtenir N en effectuant tour après tour l’une des deux ...
La racine digitale(1) d'un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10),obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant ...
Déterminer le plus petit entier M tel qu’il existe une première suite de n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à M et une deuxième suite de 2n entiers consécutifs positifs ...
On considère les nombres de 70 chiffres écrits (en base 10) seulement avec les chiffres 1,2,3,4,5,6,7, utilisés 10 fois chacun. Montrer qu'aucun de ces nombres n'est divisible par un autre de la même ...
Problème proposé par André Verdier Q1 Démontrer que 10n + 1 est divisible par 13 quand n = 3301 Q2 Démontrer que 10n + 1 est divisible par 257 quand n =127616
Par ordre alphabétique, ...
Mon premier X est la plus grande valeur possible des PGCD de deux termes consécutifs de la suite définie par la relation an = n2 + 101, n = 1,2,3,….. Mon deuxième Y est le nombre de paires d’entiers ...
Problème proposé par Bernard Vignes Trouver la plus petite fraction irréductible a/b strictement positive appelée « graine d’entiers » qui remplit les deux conditions ci-après: 1°) pour tout n ...
Zig choisit le triplet (a,b,c) parmi les six triplets (6,8,10), (6,10,8), (8,6,10), (8,10,6), (10,6,8) et (10,8,6) puis Puce cherche tous les triplets de nombres premiers distincts (p,q,r) tels que ...
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) ...
Thérèse Eveilleau,Maxime Cuenot,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Anne Bauval,Kee-Wai Lau,Daniel Collignon,Nicolas Petroff,Antoine Verroken et Daniel Vacaru ont résolu tout ...
Calculer le nombre de triplets (p, q, r) de nombres premiers pas nécessairement distincts tels que , puis vérifier que ce nombre est lui-même un nombre premier k et enfin prouver qu’il y a un nombre ...
Q1 Soit un entier A > 10. On l’ampute de son dernier chiffre z. Il devient B. Résoudre l’équation = z Q2 Soit un entier A à 2k chiffres dont le (k+1)ème chiffre à partir de la gauche ...
Q1 Pour les valeurs respectives de k = 2, 3 et 4, existe-t-il un entier dont les cinq chiffres sont distincts et différents de zéro tel que l’entier lui-même et les entiers obtenus par permutation ...
On s’intéresse aux triplets d’entiers (p,k,n) qui ont la propriété (P) suivante : le carré de la somme des k premières puissances de p : p0 = 1, p1 = p, p2,….,pk-1 est égal à la somme des n premiers ...
Dénombrer les entiers positifs n (d'au plus 2021 chiffres) tels que n et n3 ont les mêmes 2021 chiffres de droite (en complétant à gauche par des zéros si nécessaire).
Problème paru ...
Q1La grenouille de la fable part de l’origine (0,0) et fait une succession de bonds . Chaque bond de longueur 13 l’amène en douze points distincts de coordonnées entières du plan. Q1Lui est-il possible ...
Trouver le plus petit entier qui se termine par 2022, est divisible par 2022 et dont la somme des chiffres est égale à 2022. Nota : L’entier obtenu par concaténation de 337 fois le nombre 2022 ...
Soumettez d’abord un petit programme informatique à votre automate préféré ou bien utilisez un tableur pour vérifier que pour tous les entiers n de 1 à 1000 : - d’une part les entiers 10n2 + 11n + ...
Zig choisit un entier n ≥ 1 et propose à Puce de trouver deux suites Sa et Sb de n entiers strictement positifs chacune et , i = 1,2,..,n, dont les sommes des carrés sont identiques . La recette ...
On considère la suite S strictement croissante des entiers strictement positifs: m₁,m₂,…,mi,… tels que pour tout i il existe au moins un nombre rationnel x vérifiant l’équation x*[x]* = mi où ...
Problème proposé par Elie Stinès Un groupe de personnes (ils sont au moins 10, mais pas plus de 1 000) doit se rendre le plus rapidement possible dans une ville éloignée. Ils ne disposent que d’une ...
Zig cherche trois suites d’entiers dont le premier terme est 1 et qui lui permettent d’atteindre respectivement le plus rapidement possible les trois cibles 999 999, 1 000 000 et 1 000 001 selon la ...
Prouver que pour tout nombre rationnel r strictement positif, on sait trouver quatre entiers positifs a,b,c,d pas nécessairement distincts tel que r = (a³ + b³)/(c³ + d³). Application numérique : trouver ...
Parmi ces sept expressions n3 ‒ n – 3, n3 ‒ n – 5, n3 ‒ n – 11, n3 ‒ n – 17, n3 - n - 29, n3 ‒ n – 47 et n3 ‒ n – 89, six d’entre elles donnent au moins un carré parfait pour certaine(s) valeur(s) ...
On considère l’ensemble infini des entiers palindromes classés par ordre croissant 1,2,…,9,11,22,..,99,101,… Q1 Prouver que la somme des inverses de tous ces entiers est inférieure à 5 [*] Q2 Prouver ...
On considère la suite croissante S des entiers strictement positifs un tels que 2022un + 1 et 2023un + 1 sont tous deux des carrés parfaits. Q1 Est-il possible que l’entier 6065un + 3 soit un nombre ...
Déterminer en fonction de l’entier N le nombre de couples d’entiers p et q, 2 ≤ q < p ≤ N, qui se tiennent par la barbichette : p divise q3 – 1 et q divise p – 1. Application numérique ...
Soient p(x) et q(x) deux polynômes non constants à coefficients réels à partir desquels on détermine les deux polynômes u(x) et v(x) définis par u(x) = p(x) – q(x) et v(x) = p(x) + q(x). Sp,Sq,Su et ...
Le ratio d’abondance d’un entier n positif est le rapport, désigné par ρ(n), de la somme des diviseurs de n à l’entier lui-même. Par exemple ρ(8) = (1 + 2 + 4 + 8)/8 = 15/8. Q1 Prouver qu’un entier ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Une suite d’entiers est définie par un = n2022 + a, a étant un entier donné. Comment doit-on choisir a pour que, quel que soit n, les entiers un et ...
a/ Comment prolongeriez-vous la suite commençant par 62, 138, 262, 446 ?
b/ Trouver deux cubes dont la différence est un multiple à 5 chiffres de 2022. Trouver deux cubes dont la somme est un multiple ...
Problème proposé par Augustin Genoud et inspiré d'une énigme de Bernard Novelli Les Trois Mousquetaires sont à cheval aux quatre sommets d’un carré de 10 km de côté. Leur ouïe très fine leur fait entendre ...
Soit un nombre réel x > 0. Pour tout entier n ≥ 1, on désigne par En la partie entière par excès de xn. Trouver cinq nombres réels distincts < 2022 tels que pour chacun d’eux l’écart de En au ...
Un entier positif est appelé « bègue » si sa représentation décimale consiste en deux blocs identiques ne commençant pas par un zéro. Par exemple 450450 est « bègue » mais 45045 ne l’est pas. Q1 Trouver ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Dans un carré magique d’ordre 4 (les entiers de 1 à 16 donnant le même total aux lignes, colonnes et diagonales), un masque me permet de ne voir qu’un ...
Zig écrit au tableau noir les puissances successives de 2 : 20 = 1,21 = 2, 22 = 4,….jusqu’à 221 = 2 097 152. Puce choisit alors deux nombres qu’il efface en les remplaçant par leur différence (qui est ...
Pour k prenant la valeur 7 puis la valeur 2022, démontrer qu’il existe k nombres réels pas nécessairement distincts dont la somme est égale à π et dont la somme des inverses est égale à φ (nombre ...
Pour a plus petit que 1, la fonction ax est décroissante, ce qui garantit que l'équation ax=x a une solution unique.
Existe-t-il une valeur de a supérieure à 1 telle que l'équation ax=x ait une solution ...
Problème proposé par Raymond Bloch Les nombres entiers n, n+1,…, 2n sont écrits sur (n+1) cartes, n ≥ 100. On partage les cartes en deux tas. Prouver qu’au moins un des deux tas contient deux cartes ...
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 Déterminer le plus petit entier n > 0 tel que n2022 + n2023 + n2024 + n2025 est divisible par 2310. Q2 Déterminer le plus petit entier n > 0 tel que n3 + ...
Problème proposé par Gérard Torchet Je jette en l’air une pierre, à la verticale, et je la rattrape au niveau où je l’avais lâchée. Du temps de montée et du temps de descente, lequel est le plus long ...
Problème proposé par Georges Camguilhem a,b et c sont trois nombres réels positifs. Prouver l’inégalité : 3[bc(b + c) + ab(a + b) + ac(a + c)]2 ≤ 4(a2 + b2 + ab).(b2 + c2 + bc).(a2 + c2 + ac)
Pierre ...
x appartenant à l’ensemble des réels > 1, valeurs entières exclues, e(x) désigne la partie entière par défaut de x et f(x) sa partie fractionnaire. Soient r1(x) = (x + e(x))/f(x), r2(x) = (x + f(x))/e(x) ...
Comme l’indique Wolfram Alpha l’entier 32022 contient 112 fois le chiffre zéro (0) Existe-t-il un multiple de cet entier qui ne contient aucun zéro ? Nota : on ne demande pas de calculer ...
Problème proposé par Bernard Vignes Le paramètre p > 0 étant fixé à l’avance, quand le nombre réel x varie de 0 à l’infini, l’expression y = 1/sin(arctang(x/p) – arctang(x/(p+1))) a pour minimum ...
Déterminer deux entiers positifs inférieurs à 2022 dont la somme des inverses des diviseurs de chacun d'eux est égale à 3. Pour les plus courageux disposant d’un automate : vérifier que dans l’intervalle ...
Q1 On considère la suite d’entiers ai définis par son premier terme a1 et la relation de récurrence : ...
Quelle courbe du plan vérifie
Problème proposé par Les Reid, paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2022
solution
a/ On considère la suite 49, 4489, 444889, ..., où chaque terme est obtenu en insérant 48 au milieu du précédent. Montrer que tous les termes sont des carrés, et déterminer la suite des racines de ...
On définit une suite d'entiers par t0=3, tn+1=3tn (3 élevé à la puissance tn).
a/ Quels sont les deux derniers chiffres de t3 (en écriture décimale) ? Ses trois derniers chiffres ?
b/ Montrez que ...
a/ Le nombre 2023 est divisible par 7 et la somme de ses 4 chiffres est 7. Quels nombres de 4 chiffres inférieurs à 2023 ont les mêmes propriétés ? b/ Parmi ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Déterminer toutes les solutions en x et y entiers de l’équation 10x4 + 1620x2 = 27y5 ‒ 13122
Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint Martin,Kaustuv Sengupta,Pierre ...
Problème proposé par Bernard Vignes Prouver que quel que soit l’entier n > 0 la partie entière par défaut de n!/e est un nombre pair avec n ! = factorielle de n et e = 2,718281828….
Jean Moreau ...
Problème proposé par Raymond Bloch Puce a divisé l’entier naturel p par l’entier naturel q ≤ 80.La séquence des chiffres 2,0,2,3 est apparue dans cet ordre quelque part après la virgule dans la représentation ...
Zig marque les entiers 20 et 23 au tableau noir et invite Puce à écrire à partir de ces deux entiers une suite S de nombres entiers qui obéissent à la règle suivante : à chaque tour, si deux entiers ...
On dit qu’un ensemble E de n entiers strictement positifs est bien verrouillé si pour toute paire d’entiers (a,b) de E le carré de leur différence (a – b)² divise leur produit ab. Prouver que, quel ...
On considère la suite S de nombres entiers positifs de terme général ai définie par la relation de récurrence suivante : ai+1 est le carré du nombre de diviseurs positifs de ai (1 et ai compris). Par ...
Déterminer la plus grande valeur de l’entier k telle que, quel que soit l’ensemble Ek de 36 entiers naturels distincts > 0 qui ont tous le même nombre k de chiffres (k ≥ 2), il existe toujours ...
Problème résolu par Michel Goudard La tempête de grêle qui s’est abattue sur le Bourbonnais en juin 2023 a fortement endommagé les toitures de la maison de Zig. Celles-ci avaient été installées en ...
On considère la suite des nombres entiers définie pour tout n ≥ 2 par la relation de récurrence : a(n) = 4a(n-1) – a(n-2) avec a(0) = 1 et a(1) = 2. Q1 Déterminer un facteur premier impair de a(2015) ...
On s’intéresse aux n-uples – par convention appelés « parfaits » – d’entiers distincts strictement positifs a1, a2, …an-1,an tels que leur somme sn = a1 + a2 + …an-1 + an et leur produit pn = a1a2…an-1an ...
Pour quelles valeurs de l'entier n l'expression
27n+1 + 32n+1 + 510n+1 + 76n+1 est-elle multiple de 17 ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2023
solution ...
Problème proposé par Bernard Vignes La suite S1 contient les nombres de chiffres des puissances successives de 10 (10k pour k = 1,2,3,…) exprimées en base 2.Par exemple pour k = 1, 10 en base ...
Pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, on s’intéresse aux collections de nombres premiers (pas nécessairement distincts) qui ont la propriété (Pk) suivante : le produit de leurs termes vaut k fois ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Déterminer tous les entiers n tels que xn + yn + zn est le double d’un carré parfait quels que soient les entiers x,y et z de somme nulle.
Pierre ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Trouver toutes les valeurs de l’entier n telles que est un entier.
Bruno Langlois,Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon,Pierre ...
On s’intéresse aux entiers N écrits en base 10 dont tous les chiffres sont distincts de 0. On considère toutes les chaînes d’un ou plusieurs chiffres consécutifs extraites de N, y compris l’entier ...
Cet entier n est une puissance de 2024 de la forme n = 2024p avec p entier positif. Il y a exactement 2025 couples d’entiers positifs (a,b) tels que le plus petit commun multiple (PPCM) de a ...
Q1 Déterminez tous les couples de nombres premiers (p,q) tels que: 1er cas: p3 + p + 2 = q2 + q 2ème cas:p3 + p + 2 = q2 – q Q2 Déterminez tous les couples de nombres premiers (p,q) ...
On considère la suite des entiers de terme général a(n) pour n = 0,1,2,3,…. définie par a(0) =1, a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = k et pour n ≥ 2 par la relation de récurrence a(n + 2) – a(n ‒ 2) ...
Problème proposé par Bernard Vignes Diophante donne à Zig la valeur d’un entier k > 2 puis lui demande de calculer la somme s(k) = ak + bk des puissances k de deux nombres réels a et b tels ...
Q1 Trouver le plus petit entier pair strictement positif m de sorte que pour tout nombre premier p, l’entier p2 + m n’est jamais un nombre premier. Q2 Prouver qu’il existe une infinité de nombres entiers ...
375.
A3906. Zigzags
(A. Arithmetique et algèbre/A3. Nombres remarquables)
Problème proposé par Raymond Bloch Un « zigzag » est défini comme un entier formé de chiffres distincts qui sont alternativement plus grands et plus petits que le chiffre placé immédiatement à leur ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Au cours de l'année 2000, les deux frères André et Bernard entreprennent des recherches sur l'arbre généalogique de la famille et commencent par lister les dates ...
a, b et c sont trois nombres premiers distincts tels que abc – 5ab + ac – bc – 5a + 5b – c = 1291 (R). Q1 Prouver que les triplets (a,b,c) qui satisfont la relation (R) sont en nombre fini. Q2 Déterminer ...
Déterminer le 605ième chiffre après la virgule du nombre irrationnel égal au produit des 2024 radicaux des puissances successives de 2 imbriqués les uns dans les autres. ...
Déterminer la somme des racines de l’équation :
Par ordre alphabétique:Maurice Bauval,Kamal Benmarouf,Matthew A. Brom,Georges Camguilhem,Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau,Claude Felloneau,Francesco ...
Les fractions 1/7, 2/7, ..., 6/7 ont des développements décimaux dont les 6 chiffres se suivent toujours dans le même ordre. Quelles autres bases de numération ont cette propriété ? Problème ...
Problème proposé par Bernard Vignes Zig choisit à sa convenance une liste de 25 nombres distincts sur l’intervalle ouvert ]1,250[ Prouver que Puce sait extraire de cette liste trois nombres qui sont ...
Soit x un nombre de l'intervalle (0,1). Je construis un nombre y en lui donnant pour n-ième décimale la décimale de rang 2n de x.
Montrez que si x est rationnel, y aussi.
Problème paru dans La ...
Prouver qu’on sait trouver au moins 2024 entiers naturels distincts qui ont au plus 60 chiffres et dont les chiffres des carrés sont dans un ordre non décroissant.
Baphomet Lechat,Claude Felloneau,Gaston ...
Problème proposé par Raymond Bloch et Pierre-Jean Laurent Q1 On choisit librement dix nombres distincts parmi les entiers de 1 à 45.Montrer que parmi eux il est toujours possible d’en trouver ...
1er jeu On considère la suite des nombres entiers obtenus par concaténations successives des entiers naturels 1,2,3..à savoir 1,12,123,1234,12345,123456,…,12345678910,1234567891011,123456789101112,… ...
a/ Selon que la base de numération est $b$, $b+1$ ou $b+2$, le nombre $N$ s'écrit 1580, 1208 ou BC9 (les entiers 10, 11, \ldots, sont écrits A, B, \ldots, quand ils sont inférieurs à la base de numération). ...
Q1 Prouver qu’il existe une infinité d’entiers positifs m tels que le rapport de l’entier obtenu par concaténation de m avec lui-même au carré de m est un entier a, à savoir: Application numérique ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On obtient la moyenne des chiffres de certains entiers en plaçant une virgule entre le premier et le deuxième de leurs chiffres . 11 250 000 est l’un d’eux ...
Pour le nombre premier p fixé à l’avance prenant successivement les valeurs 2,3,5,7 et 11,Zig recherche tous les nombres premiers q et r pas nécessairement distincts tels que le produit qr divise pq ...
H1 On trace un polygone régulier de trente-et-un côtés (triacontakaihenagone). Sait-on trouver six sommets de sorte que les distances qui les séparent sont toutes distinctes ? H2 Vingt-et-une ...
L’ascenseur de l’immeuble de bureaux de 65 étages dans lequel Zig travaille au 60ème étage, a été conçu par un architecte farfelu passionné d’arithmétique. L'ascenseur commence au 1er étage et dessert ...
A’,B’,C’ sont les symétriques d’un point quelconque P du plan par rapport aux côtés BC,CA et AB d’un triangle ABC. Démontrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles ABC, AB’C’, A’BC’ et ...
Déterminer l’entier n le plus proche possible de 2024 qui a les deux propriétés suivantes : P1 : on lui applique la fonction f définie par f(n) = n / 2 si n est pair et f(n) = n2 ‒ 1 si n est ...
Une suite S0 est définie par les six entiers 1,2,3,4,5,6 . On efface deux entiers quelconques a et b et on les remplace par leur somme a + b et leur produit ab. En poursuivant le processus ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu’une suite de nombres entiers (p1, p2, p3, --- pn) est première si elle vérifie les trois conditions suivantes : C1. p1 = 2 ; C2. Tous les termes ...
Quatorze chevaux en bois sont installés sur le pourtour circulaire d’un carrousel. Puce aimerait bien faire le même nombre de tours de manège afin de les chevaucher les uns après les autres mais il ...
Deux polygones convexes P1 et P2 ,chacun de n côtés étiquetés i=1,2,..n et j=1,2,...n, sont situés dans deux plans distincts de l’espace. On considère l’ensemble E des segments de droite qui relient ...
Sur une première ligne, on écrit les entiers naturels de 1 à n (n > 1) pas nécessairement dans cet ordre. 1ère énigme : sur une deuxième ligne, on écrit une permutation de ces mêmes nombres de manière ...
Q1 - Parmi les sommets de l’icosagone trouver le plus grand nombre possible de points de telle sorte que pris trois par trois, ils ne forment jamais un triangle isocèle . Q2 - Parmi les sommets de ...
Sur un immense plateau percé de trous formant un quadrillage régulier, on place quatre fichets aux sommets d’un carré. Chaque fichet peut sauter par-dessus l’un quelconque des trois autres fichets ...
