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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A3. Nombres remarquables

A349. Abondance,abondance

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A349. Abondance,abondance

A3. Nombres remarquables

Le ratio d’abondance d’un entier n positif est le rapport, désigné par ρ(n), de la somme des diviseurs de n à l’entier lui-même. Par exemple ρ(8) = (1 + 2 + 4 + 8)/8 = 15/8.
Q₁ Prouver qu’un entier n dont le ratio d’abondance est supérieur ou égal à 4 (i.e. ρ(n) ≥ 4 ), a au moins quatre facteurs premiers distincts.
Déterminer le plus petit entier n qui a quatre facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 4.
Déterminer le plus petit entier n qui a quatre facteurs premiers distincts tel que ρ(n) = 4.
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 4.
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) = 4
Q₂ Prouver qu’il n’existe pas d’entier n qui a cinq facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 5.
Déterminer le nombre minimum k₀ de facteurs premiers d’un entier n tel que ρ(n) ≥ 5.
Pour cette valeur k₀, déterminer le plus petit entier n qui a k₀ facteurs premiers distincts tel que ρ(n) ≥ 5
Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 5.
Pour les plus courageux : Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) = 5
Q₃ Déterminer le plus petit entier n tel que ρ(n) ≥ 6

Solution