Etant donné un rectangle quadrillé à m lignes et n colonnes, on se propose d'étudier les partitions de ce rectangle en deux parts formées de carreaux contigus par les cotés : l'une blanche, l'autre ...
Il est facile de découper un triangle équilatéral ABC en trois morceaux qui ont la même forme. Par exemple les partages ci-après donnent respectivement 3 triangles isocèles identiques entre eux et ...
Diophante se souvient d'avoir tracé, quand il était jeune écolier, neuf lignes droites sur la terre battue de la cour de son école. Son maître lui avait fait remarquer qu'il avait construit le plus ...
Un patron de cube est un assemblage plan et d'un seul tenant de 6 carrés identiques permettant de reconstituer un cube. 1)Combien existe-t-il de patrons de cube différents ? 2)En utilisant tous ces ...
Trouver la dissection d'un carré en un minimum de triangles rectangles semblables mais de dimensions différentes tels que les côtés de l'angle droit sont toujours dans le rapport 2 sur 1. Source : ...
Découper un carré en huit triangles acutangles c'est à dire dont tous les angles sont aigus (c'est à dire strictement inférieurs à 90°) Si ce découpage est réussi, relever le défi avec le découpage ...
Problème posé au rallye mathématique de Bourgogne en 1991 Quel est le nombre minimal de cartes de format 5 x 8,4 cm2 nécessaires pour recouvrir entièrement un tapis carré de côté 45 cm ? D411-solution ...
On désigne par le quintuple d'entiers (a,b,c,k,n) une
disposition d'allumettes qui consiste en un triangle de côtés a,b et c
allumettes partagé en k zones de même aire avec le minimum d'allumettes ...
Quel est le rayon maximal d'une table circulaire que l'on peut recouvrir avec n napperons circulaires tous identiques et de rayon 1 (n=3,4,5,6 et 7). D405-solution
Peut-on recouvrir une table carrée de 1 mètre de côté avec trois napperons circulaires de 1 mètre de diamètre chacun ? Si oui, quelle est la configuration optimale ? Sinon, quel doit être le diamètre ...
Dans un triangle équilatéral P3 , je construis le plus grand carré P4 qui ne déborde pas du triangle, puis dans P5 le plus grand pentagone régulier P5 qui ne déborde pas du carré P4 et ainsi de suite ...
Depuis qu'ils se sont fâchés, ces n frères ont décidé de vivre sur notre planète les plus éloignés les uns des autres possibles. La distance entre deux frères installés en deux points A et B est mesurée ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit un tétraèdre (non aplati) T de sommets ABCD. On mène par A, B, C et D quatre plans parallèles distincts selon une direction quelconque.Une droite quelconque ...
Une sphère inscrite dans un tétraèdre touche l'une des faces à l'intersection des médianes, une deuxième face à l'intersection des hauteurs et une troisième face à l'intersection des bissectrices. ...
Quel est le plus petit cube pouvant contenir 12 cubes de dimension unité ? Source : Lucien Pianaro - revue Jouer Jeux Mathématiques n°8 D305-solution
Deux faisceaux de trois droites respectivement concourantes en deux points distincts S1 et S2 déterminent neuf quadrilatères ABED, BCFE, EFIH, DEHG, ACFD, DFIG, ABHG, BCIH, ACIG. Montrer ...
Dans un hexagone ABCDEF, la diagonale AD partage l'hexagone en deux quadrilatères de même surface. Il en est de même quand on trace les diagonales BE et CF. Montrer que les trois diagonales AD, BE ...
Diophante et Hippolyte décident de faire dans la plaine de Beauce une randonnée à bicyclettes qui les fait passer par six villages A,B,C,D,E et F tous reliés entre eux par des routes rectilignes. ...
Problème proposé par Michel Lafond
Dans le plan euclidien, on donne les coordonnées de trois
sommets d'un rectangle non aplati :
M1 (x1, y1),
M2 (x2, y2) et M3
(x3, y3). On ne connaît ...
Problème proposé par Dominique Roux
Si un carré de côté c contient deux carrés disjoints entre eux de côtés a et b, alors c > a + b.
Nota : deux carrés ...
Deux fourmis se promènent sur les côtés d'un quadrilatère ABCD dont chaque côté a au moins 10 cm de longueur. La distance qui les sépare est toujours de 1 cm. Trouver trois quadrilatères Q1, Q2 ...
A l'instar des rosiers, un vecteur est dit « grimpant » si dans le repère orthonormé Oxy, sa composante verticale selon l'axe des y est positive ou nulle. Dans le demi-cercle de rayon unité situé du ...
Les tentatives ont été nombreuses dans le passé pour essayer de résoudre par des constructions géométriques simples des problèmes désormais catalogués comme problèmes impossibles : trisection ...
Trouver une configuration de 7 points dans le plan telle que parmi tous les sous-ensembles de 3 points au moins une paire est séparée de la distance unité.
Existe-t-il une configuration à 8 points ...
Problème proposé par J. Nicot Sur un sol plan, une tache lumineuse circulaire, de rayon R, se déplace d'un mouvement uniforme rectiligne à la vitesse V. A l'instant , elle commence à éclairer ...
Dans le plan, un ensemble de cercles appelés « pentafoliés » ont les propriétés suivantes : - deux cercles quelconques ont au maximum un point d'intersection, - pour tout point du ...
Deux coureurs à pied s'entraînent sur deux pistes circulaires de centres et : la bleue a pour rayon 100 mètres et la rouge a pour rayon 80 mètres. Elles se coupent en deux points A et B avec ...
Ce problème est une extension du problème D120 .Un triangle isocèle très richement doté
Le triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut 20°donne l'occasion de réaliser un vrai feu d'artifices si ...
On trace un triangle quelconque ABC puis un premier cercle passant par les sommets A et B, puis un deuxième cercle tangent au premier et passant par les sommets A et C, puis un troisième cercle tangent ...
On considère le cercle de diamètre unité tangent aux axes Ox et Oy. Soit PQ le diamètre parallèle à l'axe des x. On trace la droite OQ qui coupe le cercle au point A1. De ce point on trace la corde ...
Pour le premier anniversaire de Théophile le plus jeune de ses huit neveux et nièces, Diophante a préparé un gâteau de forme circulaire. Les enfants facétieux demandent à leur oncle de couper les huit ...
Pour aller de sa maison A à son école B, Diophante peut aller en ligne droite et la distance à parcourir est de 1 kilomètre. Un matin, il décide de faire l'école buissonnière d'une manière originale. ...
On considère un triangle ABC. Sur le côté AC on porte le point D tel que AD=x, puis sur le côté AB le point E tel que BE=x et sur le côté BC le point F tel que CF=x. Le triangle DEF est ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Voici un cryptarithme que Christophe Pelletier vous propose pour retenir votre table de multiplication par 5 : QUATRE + UN = CINQ * UN Règles de base : - Chaque lettre représente toujours le même ...
C201-énoncé
C201-solution
Soit un carré 3 x 3 dont les neuf cases sont remplies avec neuf entiers naturels distincts A,B,C,D,E,F,G,H,I. On écrit ces nombres en toutes lettres et on dénombre le nombre de lettres ce chacun d'eux. ...
On considère le triangle T(5) qui contient 15 nombres entiers naturels A à O ainsi placés:
Placer les entiers de 1 à 15 de telle sorte que chaque nombre d'une rangée donnée est la différence en ...
Parmi neuf pièces d'apparence identique se cachent deux intruses ; toutes deux de même poids ont un poids un peu différent sans que l'on sache si elles sont plus lourdes ou plus légères. ...
Le premier problème est suggéré par Fabien Gigante
Problème n°1 On écrit sur une bande de papier infinie les puissances de 2 à la suite et sans séparation (1248163264128256...).Montrer qu'une ...
A517-Variations_sur_l'exposant_d
Diophante a une belle collection de 64 cravates mais comme il est désordonné, elles sont dispersées dans sept tiroirs différents de la manière suivante : 3, 13, 1, 14, 9, 5 et 19. Il souhaite ...
Les troupes ordinaires de Napoléon étaient disposées en 14 régiments carrés, chaque régiment comportant le même nombre d'hommes. Les troupes d'élite formaient un quinzième régiment carré, comportant ...
Sept enfants désignés par les lettres A, B, C, D, E, F et G s'installent sur la circonférence d'un cercle de centre O pour jouer au jeu du ballon chaud (voir nota 1). Comme ce sont des fans du club ...
Quels sont tous les triplets de trois entiers naturels a,b et c tels que le produit de deux d'entre eux divisé par le troisième donne un reste toujours égal à 1?
Même question lorsque le reste ...
Soient 4 entiers naturels a,b,c et d qui vérifient l'équation a2 + b2 + c2 + d2 = 4abcd. Montrer qu'il existe une infinité de quatuors (a,b,c,d) tels que les 4 nombres se terminent par le chiffre 1 ...
Ali Baba a acquis un tapis magique de forme rectangulaire et de dimensions x et y. Quand il le place dans sa chambre rectangulaire ABCD dont la longueur AB est égale à L et la largeur AD est égale ...
Diophante a acheté un pré carré ABCD qui a la particularité suivante : c'est le plus petit carré possible tel qu'il existe un point P à l'intérieur (bords exclus) situé à des distances entières ...
Les troupes ordinaires de Napoléon étaient constituées de 14 régiments, chaque régiment comportant le même nombre d'hommes et pouvant se former en carré. Un quinzième régiment était la Garde, comportant ...
Trouver l'ensemble des entiers naturels N dont les chiffres et ceux de N2 dans la représentation en base 10 sont dans un ordre non décroissant de gauche à droite.
Même question ...
1) Résoudre les deux équations distinctes
suivantes où a,b,c,d,e,f,g,e,h désignent des entiers pas nécessairement
distincts entre eux 9:
2) Résoudre les ...
Un trou noir mathémagique est défini dans un sous-ensemble E des entiers naturels N par une fonction f telle que : - il existe un entier n appartenant à E et satisfaisant l'équation f(n) = n, ...
L’imprimeur à qui Diophante confie la mise en page de ses énigmes mathématiques a la fâcheuse manie de faire des erreurs typographiques . Il confond non seulement l’écriture de ab et celle de ...
Diophante s’entraîne à la résolution des équations du second degré . Il décide la règle suivante : il part d’une équation de la forme x2 + ax + b = 0 avec a et b réels. Si son discriminant ...
Il est bien connu que les fourmis sont « les êtres vivants les plus agressifs et les plus guerriers du règne animal ». Conquête territoriale et annihilation des colonies voisines par génocide ...
Prenez une grande feuille de papier et écrivez tous les entiers de 1 à 2007 dans l'ordre suivant : d'abord le nombre 1, puis tous les nombres premiers dans l'ordre ...
Soit un cercle (C) de centre O et de rayon unité. On place le sommet de l'angle droit d'une équerre en un point P distinct de O placé à une distance d <= 1 de O et le long des côtés de l'angle ...
Lors
des dernières fêtes de Pâques, Diophante a aligné sur une même file
dans la grande allée du jardin 37 oeufs de Pâques tous de tailles
différentes.
Chacun ...
Voici trois miniatures ou « quickies » qui sont
tirées d'épreuves qualificatives pour des olympiades britanniques et
américaines:
Miniature n°1
Montrer qu'il existe une infinité ...
En utilisant les symboles traditionnels de
l'addition (+), de la soustraction ( -), de la multiplication (*), de
la division ( / ) ainsi que ceux de la factorielle ( ! ) et de la
racine carrée ...
Recette n°1
On choisit un entier p quelconque >= 1015.
Démontrer qu'il existe toujours dans p une chaîne de chiffres
consécutifs dont la longueur maximale est de 16 et telle que le produit
des ...
On dit qu'un nombre est chanceux s'il peut s'obtenir
comme la somme d'entiers positifs pas nécessairement distincts entre
eux tels que la somme de leurs réciproques est égale à 1. Par exemple
11 ...
A177-La_formule_magique-énoncé
A177-La_formule_magique-solution
On calcule la somme des chiffres de la somme des chiffres de 2005^(2005^2005). On s'arrête de calculer la somme quand il ne reste plus qu'un seul chiffre.Combien de fois doit-on écrire l'expression ...
Claude Morin ,Jean Moreau de Saint Martin et Pierre Henri Palmade ont résolu le problème.
Solutions de Paul Voyer et Daniel Collignon Autre solution
769.
A438. L'OVAI
(A. Arithmetique et algèbre/A4. Equations diophantiennes)
La structure métallique de cet OVAI (Objet Volant A Identifier) a la forme d'un quadrilatère convexe qui a les propriétés suivantes: 1) il est bicentrique c'est à dire qu'il admet en même temps un ...
Est-il vrai que quand xn - 1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou - 1 n'apparaît comme coefficient dans l'un ...
771.
A144. 4x4
(A. Arithmetique et algèbre/A1. Pot pourri)
A144- 4x4 -énoncé A144- 4x4 -solution
Quels sont les quatre derniers chiffres de N= , N étant défini par une tour de 2004 exposants tous égaux à 2004 ? A123-solution
Question n°1
On dispose de trois conteneurs qui ont chacun une capacité de 50 litres. Le premier contient 3 litres d'eau, le second 8 litres et le dernier 23 litres. On adopte la règle suivante ...
Trouver le plus grand nombre possible de fractions irréductibles distinctes dont le numérateur est un nombre premier inférieur à 100 et dont la somme est égale à 1. Source : Revue Tangente n° 69-70 ...
Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d'entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les plus grands communs dénominateurs (PGCD) successifs des termes consécutifs ...
On rappelle qu'une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Exprimer les fractions 1/n pour n=2,3,4,...,10 comme somme d'un nombre fini ...
On rappelle qu'une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Trouver le plus grand nombre possible de fractions égyptiennes dont le dénominateur ...
On considère l'ensemble E appelé « treillis » des points à coordonnées entières positives du plan. Existe-t-il un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent à E ?
Chacun ...
Je dispose de deux cubes dont les côtés s'expriment en nombres entiers de centimètres <= 15. Je peins en rouge k faces du plus grand et en bleu k+1 faces du plus petit (k > 0). Je découpe les ...
1ère séquence :
On considère la séquence des nombres entiers constituée exclusivement de nombres premiers qui vérifient l'une ou l'autre de ces deux relations pn = 2pn-1 + 1 ou pn = 2pn-1 - ...
