D225. Les polygones emboités | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 1000 problèmes mathématiques

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D2. Géométrie plane : autres problèmes

D225. Les polygones emboités

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D225. Les polygones emboités

D2. Géométrie plane : autres problèmes

Dans un triangle équilatéral P₃ , je construis le plus grand carré P₄ qui ne déborde pas du triangle, puis dans P₅ le plus grand pentagone régulier P₅ qui ne déborde pas du carré P₄ et ainsi de suite pour former une suite de polygones réguliers où P_n est le plus grand polygone régulier à n côtés qui ne déborde pas de P_n-1 .Montrer que le périmètre p_n de P_n tend vers une limite non nulle quand n croît indéfiniment.

Même question quand on part d'un triangle équilatéral Q₃ , sur lequel on construit le plus petit carré Q₄ qui recouvre entièrement le triangle, puis sur Q₄ le plus petit pentagone régulier Q₅ qui recouvre le carré Q₄ et ainsi de suite pour former une suite de polygones réguliers où Q_n est le plus petit polygone régulier à n côtés qui recouvre Q_n-1 .Montrer que le périmètre q_n de Q_n reste borné.

Solution

Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante,Jean Nicot,Pierre Henri Palmade,Pierre Jullien et Paul Voyer ont résolu le problème.
Daniel Collignon mentionne les liens suivants : http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/dess_AMC.htm et http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/GeoLimit.shtml