Quel est le nombre suivant dans la série 1,2,3,5,10,19,20,30,1000 ? E102-solution
Diophante vous invite à construire à la règle et au compas un cercle () de rayon 13 puis les côtés de trois quadrilatères convexes ABCD, EFGH, IJKL qui sont inscrits dans ...
Hippolyte donne à Diophante quatre nombres entiers naturels distincts a,b,c,d tels que a<b<c<d. Il lui demande de construire à la règle et au compas un trapèze dont les côtés ont pour dimensions ...
On se donne deux segments AB et AC de longueurs respectives 8 cm et 7 cm. Construire avec la règle et le compas un triangle ABC ayant AB et AC pour côtés et dont les médianes issues de B et de C sont ...
Soient quatre points A,B,C et D distincts et non alignés du plan P. Construire quatre droites distinctes et parallèles deux à deux passant par chacun de ces points et dont les quatre points d'intersection ...
Diophante est consulté pour l'aménagement d'un parc d'Alexandrie. Celui-ci a une forme triangulaire avec AB=300 mètres, BC=250 mètres et AC=200 mètres. On lui demande de tracer une allée rectiligne ...
Construire à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas un cercle tangent à une droite donnée L et passant par deux points A et B situés du même côté par rapport à la droite L.On suppose que la droite ...
Construire avec un règle et un compas un triangle ABC dont on connaît la longueur des trois hauteurs: Cas N°1 : 4,7 et 10 Cas N°2 : 5,7 et 11 D605-solution
Construire un carré avec seulement un compas et une règle non graduée. Construire un carré de 5cm de côté puis un carré d'aire égale à 5 cm2 avec une règle non graduée et un compas dont l'ouverture ...
Une parabole a été tracée sur une feuille de papier. A l'aide d'un compas et d'une règle non graduée, tracer son axe. D603-solution
Un cercle de centre 0, une droite L et un point P non situé sur L ont été tracés sur une feuille de papier. A l'aide de la seule règle non graduée, tracer une droite parallèle à L passant par P. ...
Il y a cinq types de tétrominos illustrés ci-après : Un carré est découpé en tétrominos de sorte que chacune des cinq formes apparaît le même nombre de fois. Déterminer la dimension minimale ...
Il existe 12 pentominos représentés ci-après :
Comment paver avec les 12 pentominos, les quatre échiquiers suivants de dimension 8x8 = 64 moins les 4 cases qui ont été neutralisées ...
Il existe 12 pentominos représentés ci-après :
Par analogie de forme, une lettre est affectée à chacun des douze pentominos. Certaines des lettres prises comme modèles permettent de ...
Il s'agit d'un petit casse-tête qui ne demande ni crayon ni gomme ni calculette mais une simple feuille de papier rectangulaire (pas nécessairement de format A4). Quel est le minimum de pliages qui ...
On dispose de six disques de rayons respectifs 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm et 6 cm. On veut disposer ces six disques sans chevauchement dans un carré le plus petit possible.
Donner la mesure du ...
Une plaque peinte en bleu a la forme d'un triangle équilatéral. Elle est posée sur une table plane. On a neuf plaques peintes en rouge de la même taille et de la même forme que la plaque bleue. Comment ...
Dans la rubrique D430 il est demandé de reconstituer un carré unique à partir de trois carrés identiques découpés chacun en trois morceaux selon un patron commun. Cette fois-ci, il s'agit de trouver ...
Diophante établit une dissection du carré unité en 5 triangles. Peut-il obtenir 5 triangles de surface égale ? Si oui, quelle est la dissection correspondante du carré ? Si non, quelle sont la ou ...
Déterminer les rayons des n cercles (n=2,3,4) qui recouvrent un triangle équilatéral de côté 1 et dont la surface globale est minimale. Les n cercles ne sont pas nécessairement identiques entre eux. ...
Quel est le diamètre maximum d'une table circulaire qui peut être recouverte par 3 napperons ayant la forme de triangles équilatéraux de côté 1 ? D406-solution Septembre 2022: Maurizio Morandi ...
D311-énoncé D311-solution
On trace un pentagone régulier ABCDE et un deuxième
pentagone régulier CFGHI qui a un sommet commun C avec le premier. L'angle BCF
est quelconque et l'on trace les deux segments ...
Soit un parallélogramme ABCD de côtés AB = CD = 2 et BC = AD = et d'angle ABC égal à 60°. On trace P sur AB avec AP = , Q sur BC avec BQ = et R sur CD avec CR = . Les droites AQ, AR , DP, DQ et PR ...
Une courbe fermée est tracée à l'intérieur d'un carré de côté 1. On mesure son périmètre P et l'aire A qu'elle délimite. Quelle est la courbe qui rend maximum le ratio A/P ? Source : Richard I. ...
Paul Erdös avait le goût des problèmes s'exprimant en quelques mots. Quoi de plus simple que cet énoncé : « n points distincts dans le plan. A partir de quelle valeur de n est-on certain de pouvoir ...
C'est le problème D213 à « l'envers ». On part d'un hexagone régulier de côté 1 et on y inscrit successivement toujours comme des poupées russes, le plus grand pentagone régulier possible ...
Les polygones peuvent s'emboîter les uns les autres tels des poupées russes?. Quel est le plus grand hexagone régulier que l'on puisse inscrire dans un pentagone régulier inscrit lui-même dans un carré ...
La salle de billards où se rend régulièrement Diophante est richement dotée. Elle possède un billard rectangulaire (2mètres x 1 mètre), un billard ayant la forme d'un rectangle isocèle ( côté de l'angle ...
Dans ce gâteau qui a la forme originale d'un décagone irrégulier, les 5 diagonales AF, BG, GH,DI et EJ sont concourantes en O et permettent un découpage du gâteau en 5 coups de couteau seulement. Les ...
Quelle est la dimension du plus grand pentagone régulier que l'on puisse placer à l'intérieur d'un carré unité ?
Source : Ken Duisenberg - juin 2001
D209-solution
Tracer huit points dans le plan tels que la médiatrice de deux points quelconques passe obligatoirement par deux autres points de l'ensemble des points. Source : Michel Criton Revue Tangente n°79 ...
On considère dans un repère orthonormé (Ox,Oy) l'hyperbole équilatère (H) d'équation y = . Soit un point P de (H) et le point Q de (H) symétrique de P par rapport à O. Le cercle de centre P et de ...
Soit un point P situé à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC. H, I et J sont les pieds des perpendiculaires issues de P sur AB, BC et CA. Le triangle ABC est ainsi découpé en six triangles API, ...
Trouver un triangle dont le périmètre est égal à 2 et qui ne rentre pas dans un triangle équilatéral de côté 1. D121-solution.pdf
Soit un cercle de centre O et une corde AB de milieu C. Par ce point passent deux autres cordes DE et FG. Les cordes DF et EG coupent AB en M et N. Démontrer que C est milieu de MN.
D118-solution.pdf ...
On trace le cercle unité C0 centré à l'origine et le point M0 sur ce cercle d'abscisse 1.On dessine un premier cercle C1 de rayon quelconque r1 et tangent extérieurement à C0 en un point quelconque T1.La ...
Soient P,Q,R les milieux respectifs des côtés BC,CA et AB d'un triangle équilatéral de surface unité. Soient X,Y et Z les milieux respectifs des segments PC, QA et RB. Les droites PY, QZ et RX se coupent ...
C'est un problème très classique qui consiste à déterminer la surface X du quadrilatère ADFE à l'intérieur du triangle ABC sachant que l'on connaît les surfaces a, b et c des triangles BCF, CDF et ...
Soit un carré magique 3 x 3 défini par ses 9 termes a, b, c, d, e, f, g, h et i tous entiers compris entre 1 et 9:
a
b
c
d
e
f
g ...
A partir d'un carré magique 3x3 constitué des nombres de 1 à 9, remplir un carré magique 9x9 avec tous les entiers 1 à 81.
Même question à partir d'un carré 2x2 constitué des nombres de 1 à 4, ...
Les plus connus sont les carrés bi-magiques dont les lignes, les colonnes et les diagonales affichent non seulement les mêmes sommes pour les nombres mais aussi pour les carrés de ces nombres. On démontre ...
Trouver un mode de fabrication simple de carrés 3x3, 4x4, 5x5 .. remplis à partir des entiers de 1 à n2 tels que les sommes des termes en ligne, des termes en colonne et des termes placés sur les deux ...
Voici un carré magique 5x5 partiellement rempli à partir de nombres entiers compris entre 1 et 25:
Avec un peu de patience, on peut le reconstituer dans son intégralité. Le but du problème ...
Placer les nombres de 1 à 28 sur les sommets et les milieux des côtés de ces trois hexagones de telle sorte que la somme des nombres placés sur les quinze côtés soient toutes égales entre elles. ...
Remplacer par les nombres entiers de 1 à 24 les 24 lettres A,B,C,...,X situées sur les branches de l'étoile magique ci-après de telle sorte que la somme des termes sur les huit alignements (AISTJB, ...
Placer les nombres entiers 1 à 17 au centre, aux sommets et aux milieux des côtés d'un octogone régulier de telle sorte que la somme de trois termes situés sur les huit côtés de l'octogone et sur les ...
Placer les nombres entiers 1 à 19 dans les cercles de l'hexagone ci-après de telle sorte que la somme des termes situés sur une même ligne (horizontale, verticale et diagonale) soit toujours la même ...
Si toutes les touches numériques ainsi que la mémoire fonctionnent sur cette calculette, seules les touches +, - et 1/x (fonction inverse) sont en état de marche. Comment obtenir le résultat du produit ...
Aucune touche numérique de cette calculette ne fonctionne normalement. En appuyant sur les touches -, + , et x on obtient respectivement le résultat -1 , +2 et le cube du nombre affiché à l'écran. ...
Hippolyte donne à Diophante 62 pièces en argent et lui signale que parmi elle 31 sont fausses car elles sont plus légères. Diophante, après un rapide coup d'oeil, repère les pièces fausses. Comment ...
On dispose de 17 pièces de poids différents. Les pièces légères pèsent 1 gramme, les pièces normales pèsent 2 grammes et les pièces lourdes pèsent 3 grammes. Elles sont réparties en trois tas ainsi ...
Un vigneron possède 45 tonneaux de vin dont 9 sont pleins, 9 sont emplis aux trois quarts, 9 emplis à moitié, 9 emplis au quart et 9 vides. Il désire les donner en héritage à ses cinq enfants de façon ...
Quels sont les entiers positifs qui sont la somme d'au moins deux nombres entiers consécutifs ? d'au moins trois entiers consécutifs ? d'au moins deux nombres impairs consécutifs ? ...
On considère l'ensemble des entiers naturels 1,2 ,3,...,2004 et un sous-ensemble E tel que :
Aucun élément de E n'est le double d'un autre élément de ce même sous-ensemble. Quelle ...
1) Quel est le plus grand des deux termes : 2^(3^(2^(3^(2^3))))ou 3^(2^(3^(2^(3^2)))),les entiers 3,2,3,2,3 alternant dans la cascade des cinq exposants de la puissance de 2 et les ...
Un nombre entier est appelé anti-carré s'il n'est pas divisible par un carré parfait plus grand que 1. Par exemple 57 est un anti-carré mais 98 multiple de 49 n'en est pas un.
Trouver une séquence ...
Pour vérifier ses théories mathématiques, Diophante aimait organiser d'immenses rassemblements d'enfants dans la cour de l'école d'Alexandrie dont il était un professeur éminent. Un jour, il a rassemblé ...
Diophante a fait de vilains cauchemars au cours des nuits passées : - La première nuit, il a rêvé d'un troupeau de moutons qui défilait en 3 colonnes d'effectifs identiques .Un mouton retardataire ...
L'aîné des petits enfants de Diophante a des talents de bricoleur arithméticien. Il dispose d'une collection de 15 cubes tous différents dont les arêtes sont des nombres entiers compris entre 1cm et ...
Lorsqu'ils voyagent en groupe dans leur propre pays ou à l'étranger, les Japonais ont l'habitude d'arborer des fanions ou des insignes qui leur permettent de ne jamais se perdre. Le groupe de mathématiciens ...
Abdullah a reçu en héritage une très belle et très longue chaîne à N maillons d'or fin. Il envisage de l'échanger contre dix-sept tapis persans, tous de même valeur unitaire, mais il ne voudrait pas ...
Le jardinier de Diophante a installé deux échelles qui se croisent dans une allée de son jardin bordée par deux murs. La première échelle AB va du pied du mur à gauche et repose sur le mur de droite ...
Près de 8 siècles séparent Pythagore et Diophante qui avait donc eu tout le temps de jongler avec les triangles pythagoriciens (1).
Prenant trois triangles pythagoriciens qui peuvent être semblables ...
On peut placer les sommets A,B et C d'un triangle rectangle pythagoricien dont les côtés valent 3,4,5 dans un repère Oxy de telle sorte que leurs coordonnées soient toutes entières.Par exemple : ...
Diophante et Hippolyte ont décidé d'acheter deux terrains triangulaires ABC et DEF dont les côtés a, b et c d'une part et d, e et f d'autre part sont des nombres entiers distincts et qui ont même périmètre ...
Trouver des séquences de nombres entiers positifs en progression arithmétique (raison >0 ou <0) dont le deuxième terme est un carré, le troisième terme est un cube, le quatrième terme est une puissance ...
Trouver 6 entiers distincts a, b, c, p ,q et r tous >0 tels que a + b + c = p + q + r et
Trouver 6 entiers distincts a, b, c ,p, q et r tous >0 tels que a + b + c = p + q + r et
Trouver ...
Un nombre carré gigogne de dimension P est un nombre carré tel qu'il existe un nombre P qui inséré en son milieu, puis inséré à l'infini au milieu du nouveau nombre ainsi obtenu donne toujours un carré. ...
On prend un nombre quelconque dont on fait le produit des chiffres (si le nombre a un seul chiffre, on prend ce chiffre par convention) qu'on ajoute au nombre lui-même. On continue le processus jusqu'à ...
La persistance d'un nombre est le nombre d'étapes nécessaires pour le réduire à un nombre d'un seul chiffre.
La persistance multiplicative consiste à multiplier les chiffres qui composent le nombre ...
Un nombre palindromique est identique à lui-même quand on le lit de gauche à droite ou de droite à gauche. - Trouver les nombres palindromiques à 4,6 et 8 chiffres qui sont en même temps des ...
Il est minuit. Quelle heure sera-t-il quand les trois aiguilles de l’horloge se croiseront pour la 1436 ème fois ? pour la 2004 ème fois ?
On suppose que lorsque les trois aiguilles sont ...
Comment choisir n nombre réels positifs dont la somme vaut 30 afin que leur produit P soit maximum ? Quelles sont les valeurs de n et de P ?
A204-solution.pdf
Quel est le plus petit entier tel que son double est un carré parfait, son triple est un cube et multiplié par 5, c’est une puissance d’ordre 5 ?
Source : Les Reid – Problem Corner – South West ...
Les trois aiguilles des heures, minutes et secondes se rencontrent deux fois par jour à midi et à minuit. A quelle heure de la journée entre 13 heures et 23 heures, les trois aiguilles sont-elles ...
Les participants d’un congrès sont rassemblés dans un amphithéâtre. Trois langues sont utilisées : le français, l’allemand et l’anglais. Tout participant connaît au moins une de ces langues. ...
Diophante est consulté par le gouverneur de la ville d’Alexandrie qui veut mettre en place un ambitieux programme de répartition des richesses. La population de la ville est divisée en cinq classes ...
Diophante dispose de 10 baguettes de longueurs entières 1,2,3,4,…,10 dont le poids de chaque morceau est proportionnel à sa longueur. Il souhaite les disposer à la manière des mobiles de Calder ; ...
Peut-on avoir les trois aiguilles d’une horloge qui font entre elles un angle de 120° de telle sorte que chacune d’elles puisse être considérée comme la bissectrice de l’angle formé par les deux autres ? ...
Si six chats tuent six rats en 6 minutes, combien faut-il de chats pour tuer 100 rats en 50 minutes ?
Source: Lewis Carroll – The Monthly Packet Février 1880 A217-1ère solution.pdf A217-2ème ...
Diophante part à pied à 9 heures du matin du village A en direction du village B et marche à une vitesse constante. Hippolyte lui aussi à pied est parti de B vingt minutes avant Diophante et emprunte ...
Quelle est la solution réelle de l’équation x3 - x2 - x - 1 = 0 ?
A219-solution.pdf
La fonction f est définie sur l’ensemble des entiers positifs N et prend ses valeurs dans N telles que :
f(n+1) > f(n)
f(f(n)) = 3n
Calculer f(2004)
Source: d’après 3rd Bay Area ...
Soient a un entier naturel > 1 et f(x) la fonction définie sur les nombres réels positifs R+ telle que :
- f(x) = x – a pour tout x ...
On considère le vecteur origine défini dans par ses cinq composantes (0, 1, 2, 4, 8). On admet qu’on peut passer d’un vecteur à un autre en substituant respectivement à quatre composantes a, b, c ...
Diophante a à sa disposition un très grand nombre de briques de longueur 40cm. En les empilant les unes sur les autres et en les décalant toujours dans le même sens, il souhaite enjamber le Nil qui ...
Deux diligences partent au même moment à la rencontre l’une de l’autre de deux auberges A et B séparées par une distance de 100 kilomètres. Un vent fort souffle dans la direction de B vers A. La diligence ...
Un certain matin du mois de décembre, il se met à neiger. La neige va tomber de manière régulière pendant toute la journée. A midi, un chasse-neige commence à dégager la route à un rythme constant en ...
Trouver l’entier n positif et n entiers positifs a1,a2,...an dont la somme est égale à 2006 et dont le produit est le plus grand possible
Claude Morin,Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint ...
Existe-t-il des nombres premiers p et q tels que l’équation du second degré x2 - p x + q = 0 ait deux racines rationnelles (i.e. égales au rapport de deux entiers) ?
A265-solution ...
Que peut bien donner ce mélange de puissances, de radicaux et d’expressions trigonométriques dans la suite an = où et n est un entier quelconque prenant les valeurs 0,1,2,3,….. ?
Source ...
Les côtés et les hauteurs d’un triangle ABC constituent respectivement deux progressions arithmétiques. Quelle est la forme du triangle ABC ?
A269-solution
En 1772, Euler a découvert une propriété curieuse du polynôme P(n) = n2 + n + 41 qui donne des nombres premiers pour les 40 valeurs de n variant de 0 à 39. Montrer qu’il existe 40 valeurs consécutives ...
On considère cinq nombres réels a,b,c,d et e tous > 1. Soit l’expression loga(bcde) + logb(acde) + logc(abde) + logd(abce) + loge(abcd) dans laquelle logx(y)désigne le logarithme de ...
Voici deux problèmes qui ont le même air de famille car ils portent sur deux polynômes P1(x) et P2(x), l’un et l’autre de degré 2005 mais attention les résultats obtenus sont très différents…… On ...
Soit un polynôme P(x) du 7ème degré qui a 7 racines réelles et dont tous les coefficients sont ≥ 0, celui de x7 et le terme constant étant égaux à 1. Montrer que P(2) > 2008.
...
On considère la suite des nombres a0,a1,a2,...an qui obéissent pour n ≥ 1 à la relation de récurrence : avec a0 = 0, a1 = 1 et les coefficients p, q, r et s qui sont des entiers positifs. ...
C'est un problème très classique et selon le côté de l'Atlantique, les différentes revues ou sites Internet de récréations mathématiques donnent la version à 10,01 € et celle à 7,11 $. Les montants ...
Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade et Fabien Gigante ont résolu les trois casse-tête.
