Soit un carré magique 3 x 3 défini par ses 9 termes a, b, c, d, e, f, g, h et i tous entiers compris entre 1 et 9:

On sait que dans un tel carré les sommes des termes en ligne et en colonne et celles des termes placés sur les deux diagonales principales sont les mêmes.

Démontrer les propriétés suivantes :

1. et
   
   
2. et
   
   
3. la somme des carrés des trois nombres lus en ligne de gauche à droite* (100a+10b+c,100d+10e +f, 100g+10h+i) est égale à la somme des carrés des nombres lus en ligne de droite à gauche (100c+10b+c, 100f+10e+d, 100i+10h+g)
   
   
4. la somme des carrés des trois nombres lus en colonne de haut en bas* (100a+10d+g,100b+10e +h, 100c+10f+i) est égale à la somme des carrés des nombres lus en colonne de bas en haut (100g+10d+a, 100h+10e+b, 100i+10f+c)
   
   

Démontrer que si les termes du carré sont compris entre 1 et N 10, les propriétés 1) à 4) restent vraies.

Que peut-on dire avec les carrés magiques 4 x 4 ?

* si les nombres a ,b, c, ?sont à un seul chiffre, la lecture des nombres ligne par ligne ou colonne par colonne est directe, sinon il faut passer par les formules 100a + 10b + c, etc?

Source : A. Benjamin et K. Yasuda : « Magic squares indeed Â» American Math. Monthly.