Les plus connus sont les carrés bi-magiques dont les lignes, les colonnes et les diagonales affichent non seulement les mêmes sommes pour les nombres mais aussi pour les carrés de ces nombres. On démontre que c'est réalisable à partir de l'ordre 8. En voici un exemple :

La somme magique traditionnelle est de 260 et la somme commune des carrés est de 11180.

Il existe des carrés tri-magiques qui présentent des sommes égales pour ses nombres, pour leurs carrés et pour leurs cubes ! Le plus petit connu a été établi par Walter Trump en juin 2002 . Il est seulement d'ordre 12 :la somme magique est de 870, la somme des carrés est de 83810 et celle des cubes s'établi à 9082800.

De façon plus modeste,on propose de reconstituer deux grilles :

Question n°1  Carré de Frénicle :

Un tel carré comporte des cases noires en nombre égal sur chaque ligne et chaque colonne. Les entiers consécutifs sont disposés sur les cases restées blanches de manière à former un carré magique.

Remplir ce carré de Frénicle 5x5 avec les entiers compris entre 1 et 20.

Question n°2  Carré de Dinesman

Il s'agit de remplir un carré 4x4 avec des entiers à 2 chiffres de manière à garder le carré magique dans les deux cas suivants :
1) le carré est obtenu en lisant ligne à ligne tous les nombres de droite à gauche.Par exemple :

2) le carré est obtenu en tournant la feuille de papier de 180°.Par exemple : 66 devient 99 et 89 devient 68