Problème proposé par Joseph-André Turk (1ère S - Liban) On dispose d’une règle dépourvue de graduation à l’exception de deux traits distants d’une unité. Les constructions élémentaires possibles ...
Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. A l'aide d'une règle non graduée et d'un compas, tracer le point P à l'intérieur du triangle dont la somme de ses distances aux trois sommets A,B ...
Construire avec une règle non graduée et un compas quatre triangles dont on connaît respectivement : 1) les trois hauteurs concourantes en un point O, 2) les trois bissectrices concourantes en ...
Trouver le plus petit entier n tel que l'on puisse découper un carré unité en N rectangles de même aire mais dont les 2N dimensions sont toutes distinctes entre elles. Donner les dimensions correspondantes ...
1) Quel est le plus petit carré qui contient six cercles de diamètre unité sans chevauchement ? 2) Combien de cercles de diamètre unité peut-on placer au maximum sans chevauchement dans un ...
Diophante vient de fabriquer un casier à bouteilles qui a la forme d'une caisse en bois rectangulaire mais il a mal calculé ses dimensions. Sa largeur est de 33 centimètres et il peut placer quatre ...
Combien existe-t-il de triangles Ti non semblables entre eux tels que chacun d'eux puisse être découpé en 125 triangles identiques, disjoints entre eux et qui lui sont semblables ? Préciser ...
Une dalle rectangulaire est dite régulière si une de ses dimensions (longueur ou largeur) se mesure par un nombre entier (quelconque), l'autre étant un réel, là aussi quelconque. Montrer que si l'on ...
Trouver le plus petit rectangle de longueur X et de largeur Y entières telles que 2X = 3Y et qui peut être pavé par un nombre fini N > 2 de carreaux rectangulaires semblables entre eux mais de surfaces ...
Montrer qu'avec des carrés dont les surfaces sont égales aux termes de la suite de Fibonacci on peut paver un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur converge vers le nombre d'or quand ...
Un couturier dispose d'une étoffe de la forme d'un triangle équilatéral de 2 mètres de côté. Comment peut-il la découper en trois coups de ciseaux de manière à reconstituer un carré ? Source : H.E. ...
Comment reconstituer un seul carré avec les morceaux résultant de la découpe de trois carrés identiques selon le patron suivant. La position des points E,F et G tels que EG est perpendiculaire à AF ...
Trouver le plus petit carré C qui peut être découpé en cinq rectangles dont les côtés sont de dimensions entières toutes différentes entre elles.
Trouver le plus petit rectangle qui peut être ...
On considère un rectangle de dimensions entières m et n. Quel est le nombre maximum de triangles tous différents dont les sommets ont leurs coordonnées entières et que l'on peut juxtaposer sans chevauchement ...
Peut-on partager en 2007 triangles isocèles disjoints entre eux le triangle ABC dont les côtés AB,BC,AC ont pour longueurs respectives 2007, 2006 et 2008? Généralisation avec un triangle quelconque ...
Est-il possible de recouvrir les six faces d'un cube avec trois triangles en papier sans qu'il y ait le moindre chevauchement de ces triangles, leur surface totale étant égale à celle des six faces du ...
Est-il possible de découper un cube de 12 cm de côté en 4 morceaux de façon à former après assemblage un parallélépipède rectangle de 8 x 8 x 27 cm ? D415-solution
Le plus grand carré qui peut être recouvert par 4 carrés de dimension unité est de dimension 2. Quel est le plus grand carré qui peut être recouvert par 3 carrés de dimension unité ? Mêmes questions ...
Peut-on tracer dans un même plan P cent droites qui ont 2005 points d'intersection (pas un de plus, pas un de moins)·? Même question avec cent droites et 2006 points d'intersection.. Quel est le nombre ...
Quels sont respectivement le côté du plus grand carré et le rayon du plus grand cercle que l'on peut inscrire dans un cube de côté unité ? Ce problème est proposé par Dominique Roux
Pierre ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Un cube d'arête 10 cm est placé dans un globe en verre
assimilé à une sphère de diamètre D dont le centre est confondu avec celui du
cube. Quand ...
Un ver pénètre par un point A dans une belle pomme rouge assimilée à une sphère de 5 cm de rayon et il en sort par un point B, la longueur du parcours AB est de 99 mm. Sachant que le parcours du ver ...
Lorsqu'on veut réaliser un cube à partir d'une feuille de carton, l'idée la plus naturelle est de découper un patron comme celui qui est dessiné ci-après :
Il suffit de plier le carton ...
On dispose d'un morceau de papier d'emballage de 1 mètre sur 1 mètre. Sans utiliser des ciseaux ou déchirer la papier, quel est le plus grand cube que l'on puisse emballer avec ce papier ? D304-solution ...
On donne une cube d'arête a. Deux sommets d'un tétraèdre régulier sont situés sur la diagonale du cube, les deux autres sur la diagonale d'une face. Quel est le volume de ce tétraèdre ? Source : I.F. ...
Ce problème est le prolongement du problème D219 avec huit points au lieu de six : trouver la position de huit points tels que tout triangle formé avec trois quelconques d'entre eux est isocèle. ...
Un point M intérieur à un carré ABCD est situé à des distances 1,2 et 3 des sommets A,B et C.
Ce problème est le prolongement du problème D219 avec huit points au lieu de six : trouver ...
Une araignée tisse une toile qui s'appuie sur les sommets de trois polygones réguliers à 2n+1 côtés P, . Ces trois polygones ont un sommet commun S . Par ailleurs P et sont symétriques l'un de l'autre ...
Le tableau de Pieter Brueghel l'Ancien sur les jeux d'enfants est bien connu. On y dénombre 51 enfants dans une cour carrée de 70 mètres de côté. 1) Montrer qu'il y a au moins trois enfants ...
Diophante montre à Théophile deux figures très proches l'une de l'autre : - la première avec sept points A,B,C,D,E,F et G qui délimitent un heptagone ABCDEFG. Les coordonnées de chacun des points ...
Cette rubrique va permettre de (re)découvrir quelques propriétés intéressantes de carrés construits à partir des côtés d'un triangle.
Soit un triangle ABC. On construit les carrés ABDE et BCFG ...
De combien de manières peut-on arranger quatre points dans le plan de telle sorte que les distances entre les tous couples de points aient seulement deux valeurs distinctes ? Source : Nobuyuki Yoshigahara ...
A,B,C,D,..sont les sommets consécutifs d'un polygone régulier à n côtés. Si l'on a 1/AD = 1/AG + 1/AJ, que vaut n ?
A,B,C,D,..sont les sommets consécutifs d'un autre polygone régulier à n côtés. ...
On considère l'échiquier déformé de dimensions 3x3 obtenu en divisant chaque côté d'un quadrilatère convexe en trois segments identiques comme le montre la figure ci-après :
En supposant ...
Ce principe mis en évidence par le mathématicien Dirichlet, appelé en France principe des tiroirs et en anglais « pigeonhole principle », s'énonce très simplement : si on range (n+1) objets dans n ...
Quel est le côté du plus grand carré que l'on puisse inscrire dans un quadrilatère dont les côtés sont égaux à 1,2 ,3,4 ?
Source : Michel Criton Revue Tangente n°79 février-mars 2001
D203-solution ...
Problème posé au rallye mathématique de Bourgogne en 1997 Alex et Zoé parcourent chacun une spirale sur un terrain plan. Pour Alex : 1 pas au nord, 1 pas à l'ouest, 2 pas au sud, 2 pas à l'est, 3 ...
L'outil préféré de Sutor est un tranchet en acier trempé dont le contour est délimité par trois demi-cercles tangents 2 à 2, de centres O, O1 et O2 et de diamètres tous distincts 2a, 2b et 2c tels ...
Le triangle de l'été bien connu des astronomes amateurs est formé par les trois étoiles les plus brillantes qui apparaissent dans l'hémisphère Nord entre juin et septembre à la tombée de la nuit.
Ces ...
Le cercle des neuf points dans le triangle dit cercle d'Euler est très connu. Voici un autre exemple d'une construction géométrique très simple de neuf points cocycliques à l'intérieur d'un rectangle. ...
Où se cache le nombre d'or dans les quatre énoncés ci-après ? - Soient un triangle équilatéral ABC et son cercle circonscrit. La droite qui joint les milieux D et E de AB et AC coupe le cercle ...
Diophante (D) qui est gardien de phare, a sa maison au bord de la mer sur un éperon qui a la forme d'un demi-cercle. Il n'est pas très éloigné de quatre villages A, B, C et E qui sont eux-mêmes en ...
Problème n°1 Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus et D un point à l'intérieur de ce triangle tel que : -la différence des angles ADB et ACB est égale à 90°, -le produit p des longueurs ...
Exercice n°1
Dans un triangle rectangle ABC, la hauteur issue du sommet A de l'angle droit rencontre l'hypoténuse en D. Soient E le milieu de CD et F le symétrique de A par rapport à B sur la droite ...
Quel est le plus petit cercle qui est tangent extérieurement à trois cercles tangents deux à deux de telle sorte que les rayons des quatre cercles sont mesurés par des valeurs entières toutes distinctes ...
- Quatre arbres A,B,C,D sont alignés le long d'une route rectiligne assimilée à l'axe des abscisses de telle sorte que AB=a, BC=b et CD=c. Existe-t-il un ou plusieurs points P du demi-plan situé au ...
On considère les trois cercles tangents entre eux et à l'axe des x comme dans la figure ci-après.
- Définir l'ensemble E de tous les triplets de cercles dont les rayons ...
Dans un repère xOy, on considère deux cercles de rayon 1 centrés en (0,1) noté C(1) et (2,1) noté C(2). Soit le cercle tangent à C(1), C(2) et l'axe des x, C(4) le cercle tangent à C(3), C(2) et l'axe ...
Trouver les plus petits entiers naturels A, B, C, D, E, F, G et H tels que les quantités : Acos(36°)cos(72°), BCcos(20°)cos(40°)cos(60°)cos(80°), DEcos(12°)cos(24°)cos(36°)cos(48°)cos(60°)cos(72°)cos(84°), ...
Existe-t-il des triangles ABC dont les côtés sont des entiers a,b,c distincts tels que du sommet A on voit le côté BC sous un angle égal au double de l'angle sous lequel de B on voit AC ? Mêmes questions ...
On considère un triangle ABC quelconque. Soit un point P non situé sur les côtés du triangle. On prend le milieu M1 de AP puis M2 le milieu de BM1 puis M3 le milieu de CM2 puis M4 le ...
Diophante se sent un peu à l'étroit sur son terrain ABC triangulaire de 100 m 2 dont les côtés sont a, b et c. Il envisage une extension qui lui permet d'avoir un nouveau terrain triangulaire encadrant ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
A noter : ces trois grilles comportent le minimum de données intiales connu à ce jour (17 en l'occurence) avec solution unique. Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. ...
Une grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Un grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Un grille de Sudoku est faite de la juxtaposition de 9 carrés 3x3. Chacun de ces carrés comporte tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Il s'agit de compléter la grille de telle sorte que ...
Faisons une entorse à l'histoire : Diophante n'est pas né à Paris mais à Alexandrie mais pour la résolution de ce cryptarithme, il nous pardonnera cette erreur.
On considère l'expression: N E ...
Dans la première des ces deux multiplications cryptées, tous les astérisques y compris ceux des résultats intermédiaires représentent des chiffres qui sont des nombres premiers 2,3,5 ou 7 tandis que ...
C213-énoncé
Solution C213-solution
Trouver les deux entiers A et B tels que dans la multiplication développée définie ci-après la somme des chiffres situés dans les 4 colonnes soit la même (à titre d'exemple représentation de ...
Dans ces trois multiplications cryptées, tous les astérisques y compris ceux des résultats intermédiaires représentent des chiffres issus de trois sous-ensembles de 4 chiffres distincts >0. A noter ...
Ces deux divisions sont exactes et leurs restes sont nuls. Chaque point astérisque est à remplacer par un chiffre.
Aucun nombre ne commence par zéro.
Le quotient de la première division ...
Voici deux messages que nous adresse Maurice Bauval sous forme de cryptarithmes :
Premier cryptarithme
ANTI + TARTRE = ACTION + ACTION sachant que « ANTI » ...
Cette division est exacte et son reste est nul. Chaque point astérisque est à remplacer par un chiffre. Il est possible qu'on trouve d'autres chiffres 8 que ceux mentionnés.
Aucun nombre ne commence ...
C202-énoncé C202-solution
Règles de base : Chaque lettre représente toujours le même chiffre. Deux lettres différentes représentent deux chiffres différents. Aucun des nombres représentés par un mot ne commence par zéro.
...
Règles de base : Chaque lettre représente toujours le même chiffre. Deux lettres différentes représentent deux chiffres différents. Aucun des nombres représentés par un mot ne commence par zéro. ...
Règles de base :
Chaque lettre représente toujours le même chiffre.
Deux lettres différentes représentent deux chiffres différents.
Aucun des nombres représentés par un mot ne commence par ...
Règles de base :
Chaque lettre représente toujours le même chiffre.
Deux lettres différentes représentent deux chiffres différents.
Aucun des nombres représentés par un mot ne commence par ...
Règles de base :
Chaque lettre représente toujours le même chiffre.
Deux lettres différentes représentent deux chiffres différents.
Aucun des nombres représentés par un mot ne commence par zéro. ...
Placer 18 dominos parmi un jeu complet de 36 dominos de façon à constituer un carré magique 6x6. B104-solution
Ma calculette est pour le moins étrange. Les quatre touches des opérations élémentaires +,-,x et / n'existent pas mais il y a une touche exotique TE. J'introduis le nombre A puis j'appuie sur TE et ...
C'est un clin d'oeil d'Oumpapah, participant assidu des forums Mathprepa et Les-mathematiques.net, qui a exhumé le thème d'un ouvrage ancien de calcul numérique.
On donne la suite dont le terme général ...
Les calculettes les plus simples ont toutes les quatre opérations élémentaires : addition +, soustraction - , multiplication x et division /. L'une d'elles un peu mieux dotée a l'extraction de ...
Dans le problème A712, nous avons fait une digression avec une balance électronique à un plateau. Revenons à la bonne vieille balance Roberval à deux plateaux sur lesquels on place 100 poids marqués ...
On dispose de 6 pièces de monnaie dont une est fausse avec une différence de poids avec les cinq autres supérieure à 1gramme mais on ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère.
Le plus petit ...
Parmi 24 pièces d'apparence identique, l'une est plus lourde que les autres et une seconde est plus légère. En utilisant une balance Roberval à deux plateaux, trouver le nombre minimal de pesées ...
On dispose d'une balance Roberval pour classer dans l'ordre croissant les poids de 5 objets différents. Quel est le nombre minimum de pesées pour y arriver ? Source : Internet newsgroup ...
On dispose de 6 boules dont 2 rouges, 2 bleues et 2 noires. Pour chacune des couleurs il y a une boule de poids P et une boule de poids Q avec Q<P. Comment déterminer en deux pesées avec une ...
On dispose d'une balance à deux plateaux et de 4 masses de 1 gramme, 4 grammes, 9 grammes et 16 grammes. Quelles sont les pesées impossibles des objets dont le poids exprimé en nombre entier de ...
Identifier et dénombrer les sous-ensembles de qui ne contiennent pas 2 entiers consécutifs.
Application numérique : trouver le nombre de sous-ensembles pour n=21.
A612-solution
...
Trouver le plus petit entier N dont la partition en six entiers distincts A, B, C, D, E et F ( c'est à dire A + B + C + D + E + F = N ) est telle que la somme de cinq de ces six entiers est toujours ...
Deux personnes achètent un collier non fermé de perles de couleur blanche et noire qui comporte 2*a et 2*b perles de chaque couleur. Elles souhaitent couper le collier en deux ou plusieurs morceaux ...
On pose N = 2n. - Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que n divise 2N+2. - Trouver le nombre premier p > 2 qui divise 2N + 3N + 5N quel que soit n entier naturel >0. ...
Exercice n°1
1836, 1887, 1954 et 2005. Ces quatre dates appartiennent à quatre régimes politiques de l'histoire de France. Lesquels ?
Ces mêmes dates figurent dans l'expression En = 2005n ...
Existe-t-il deux entiers a et b tels que les représentations décimales de 2a et 5a commencent respectivement par 5b et 2b ?
Généralisation : on considère les entiers naturels p ...
Diophante a une nombreuse famille. Il constate que les âges de chacun de ses membres sont tous des entiers distincts compris entre 1 et 100 tels que le produit de deux quelconques d'entre eux n'est ...
1) Déterminer tous les entiers n tel que (n-1)! + 1 = n2 et trouver le plus petit entier naturel n > 1 tel que n2 divise (n-1)! + 1.
2) Démontrer que l'équation ...
Trouver un polynôme P(x) du second degré qui a pour coefficients des entiers relatifs, qui n'est pas le carré d'une forme linéaire et dont les valeurs P(1), P(2), P(3), P(4) sont toutes des carrés ...
Diophante fait découvrir à Hippolyte la curiosité suivante :
1+4 = 2+3 1 + 4 + 6 + 7 = 2 + 3 + 5 + 8 12 + 42 + 62 + 72 = 22 + 32 + 52 + 82 1 + 4 + 6 + 7 + 10 + 11 + 13 + 16 = 2 + 3 + ...
N = et ?
On sait que l'on peut écrire :
1 = 12
2 = - 12 - 22 - 32 + 42
3= - 12 + 22
4 = - 12 - 22 + 32
Peut-on écrire n'importe quel entier N sous la forme N = avec ...
Trouver des nombres entiers tels que dans la représentation décimale de leur racine carrée, les chiffres après la virgule commencent respectivement par :
11, 111, 1111, 11111, etc ...
12, 123, ...
Diophante participe en tant que spectateur à une course à Marathon où sont inscrits un très grand nombre de coureurs portant des dossards différents et inférieurs à 25000. Dix minutes après le départ, ...
Existe-t-il des entiers qui peuvent s'écrire sous la forme d'une somme d'au moins deux carrés consécutifs de trois manières différentes ou plus? Source : Les Reid - Problem Corner - South ...
Grâce à l'égalité 1+2=3, trouver des entiers positifs a, b, c,d, e tous différents tels que a + b + c + d = d + e et a2 + b2 + c2 = d2 + e2 Poursuivre le raisonnement pour trouver les entiers ...
