Dans le plan complexe Oxy, on trace du côté des x positifs le cercle de rayon unité tangent en O à l’axe des ordonnées.On trace sur la circonférence de ce cercle quatre points A,B,C et D qui ont respectivement ...
En deux coups de ciseaux, vous partagez un triangle de surface unité en quatre morceaux constitués de trois triangles et d’un quadrilatère.
Trois morceaux ont même surface s. Déterminez s.
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Problème proposé par Dominique Roux Etant donné un triangle équilatéral ABC, pour tout point M de son plan on construit les symétriques A', B' , C' de M par rapport aux côtés respectifs BC,CA,AB. ...
D’un point P extérieur à un cercle (Γ) de centre O, on mène la droite PO qui rencontre (Γ) en deux points A et B puis une tangente à (Γ) qui touche ce cercle au point T. Les parallèles ...
Problème proposé par Dominique Roux Etant donné un triangle ABC et une droite (L),on projette orthogonalement A, B, C sur (L) en respectivement A', B', C'. On sait d’après le problème n°1 ...
Problème proposé par Dominique Roux On reprend les notations de l'énoncé D1980. On a vu que lorsque O est sur le cercle (ABC) le point P décrit un segment [MN]. 1) Quel est le lieu du milieu de [MN] ...
Problème proposé par Jean-Nicolas Pasquay Soit un triangle ABC, M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC et MAD ont même bissectrice). Démontrer de la façon la plus élégante ...
Un point P à l’intérieur d’un triangle ABC se projette en D,E et F sur les droites BC,CA et AB. Déterminer la position de P dans les quatre cas suivants : - le produit PD.PE.PF est ...
Problème proposé par Dominique Roux On reprend les notations de l'énoncé D1981. On suppose toujours que le point O décrit le cercle (ABC). 1) Montrer que M et N décrivent une même courbe (H). 2) ...
Démontrer que le rayon du cercle (Γ) circonscrit à un triangle ABC est égal au rayon du cercle exinscrit touchant BC en A’, CA en B’ et AB en C’ si et seulement si l’orthocentre du triangle A’B’C’ est ...
Soit un triangle scalène ABC dont le cercle circonscrit est (?). On trace un cercle (?) de centre ? distinct de (?) qui passe par les points B et C et coupe la droite AB en un deuxième ...
Problème proposé par Yves Foussard Zig et Puce concourent pour tracer un segment de droite compris entre deux points A et B éloignés d’un mètre. Ils disposent chacun du même outillage : une règle non ...
Construire un triangle connaissant le cercle inscrit et les bissectrices intérieures.
Problème proposé par Pierre Leteurtre, paru dans La Jaune et la Rouge de 2015
solution ...
La distance d qui sépare le centre O d’un cercle (Γ) de rayon R et le centre I d’un cercle (γ) de rayon r est telle que d2 = R(R – 2r). Q₁ Démontrer qu’on sait tracer une infinité de triangles ...
Problème proposé par Michel Lafond Partager un carré en un nombre minimal de "pièces" qui réassemblées, permettent d'obtenir 2015 petits carrés égaux.
Paul Voyer,Jean Moreau de Saint-Martin et l'auteur ...
Problème proposé par Patrick Gordon Soit un cercle (Γ) de centre C. On trace sur ce cercle un point fixe A et un point courant M. Le triangle CAM admet H comme orthocentre, I comme centre du ...
La reine des fourmis se trouve en un point F d’où elle voit une brindille rectiligne XY sous un angle α de 20°15’. Elle place dans le sens anti-horaire p fourmis ouvrières aux sommets x1,x2,... ...
Ce paysagiste propose à Diophante de créer dans son jardin un parterre dont la bordure et une zone centrale sont gazonnées tandis que la partie fleurie occupe le reste. Avec un référentiel Ox,Oy ...
Soit un triangle ABC ayant pour cercle circonscrit (Γ) et pour cercle d’Euler (γ).Du sommet C, on mène les tangentes au cercle (γ), qui le touchent en X et Y. Démontrer que les droites AB, XY et la ...
Partager un carré en trois carrés égaux, en faisant le nombre minimum de morceaux.
Problème proposé par Gérard Bertaux, paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2014
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Zig dispose d’une carte de crédit qui a la forme d’un rectangle de 81 mm x 54 mm. Quand il fait tourner la carte entre le pouce et l’index autour de l’une de ses diagonales,il obtient un solide de révolution ...
Problème proposé par Dominique Roux
Soient O et I les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit d’un triangle ABC.Les points D,E et F désignent les points de contact du cercle inscrit avec ...
Les extrémités des pieds d’une table de jardin sont les sommets d’un carré.Démontrer qu’il est possible d’installer la table sur un sol inégal fait de creux et de bosses de sorte que ses quatre pieds ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Déterminer les sommets S1,S2,S3 ...Sn d’un polygone sphérique de n arcs de grand cercle connaissant les milieux successifs M1,M2,M3...Mnn. de ces arcs. M1 est le ...
Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle tel que AB > AC. Les points I et H sont respectivement le centre du cercle inscrit et l’orthocentre. Démontrer que l’on a l’égalité ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Le triangle ABC est rectangle en B. Le point D est situe sur AB entre A et B. Les cercles Γ1, Γ2, Γ3 de centres E, F, G sont les cercles inscrits des triangles ...
On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos. Construire ce point ...
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. La bissectrice AI coupe les droites DE et DF aux points P et Q. Soit H le pied de la hauteur ...
Zig affirme qu’il est capable de partager avec une ligne droite un pentagone convexe quelconque en deux polygones de même périmètre dont les plus grands côtés sont égaux entre eux. Puce affirme de son ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un triangle ABC acutangle tel que AB > AC. Les points O et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre. La droite (OH) rencontre ...
Problème proposé par Dominique Roux Dans un triangle ABC, les médiatrices des côtés AB et AC coupent respectivement les droites (AC) et (AB) aux points B1 et C1 tels que la droite B1C1 coupe le côté ...
Dans un triangle ABC, on désigne par D et E les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de l’angle en A sur la droite BC. M est le milieu du segment DE et P est le point d’intersection des tangentes ...
Dans un triangle ABC acutangle les points O et H désignent le centre du cercle circonscrit (Γ) et l’orthocentre. Le point D est diamétralement opposé au point A sur (Γ). La perpendiculaire menée de ...
On trace successivement: - un triangle ABC, - le cercle (Γ1) de centre O qui est circonscrit à ce triangle et sur lequel se trouve un point courant P, - le cercle (Γ2) circonscrit au triangle ...
Soit ABC un triangle de cercle circonscrit (Γ). Un cercle (γ) de centre A rencontre le côté BC aux points D et E de sorte que B,D,E et C sont distincts et dans cet ordre sur la droite (BC). On note ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Dans un triangle ABC acutangle le point O est le centre du cercle circonscrit (Γ) et le point D est diamétralement oppposé au point A sur (Γ). Soient I un point ...
ABC est un triangle équilatéral. Pour chaque position d'une droite d passant par C, on considère le segment A'B' projection orthogonale du segment AB sur d. Quelle est l'aire balayée par A'B' quand ...
Le triangle ABC est isocèle, et le segment AD le partage en deux triangles isocèles. Quelles sont les formes possibles pour ce triangle ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre ...
Une courbe C est tracée dans l'angle formé par les demi-droites OD et OD'. Soient M et M' les points d'intersection de la tangente à C avec OD et OD'. Déterminer C pour que le triangle OMM' ait un périmètre ...
Attaché par une patte dans un globe sphérique, ce hanneton peut parcourir un volume moitié de celui du globe. De quelle longueur est le fil qui le relie au point d'attache, situé sur la surface interne ...
Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentre H d’un triangle acutangle ABC, l’une comme l’autre n’étant jamais confondues avec une hauteur du triangle.Chacune d’elles coupe les ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne 2 triangles ABC et A'B'C' et un point M dans le plan. On définit : 1) l'application M → N où N est le point de concours des axes radicaux des cercles ...
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrialatère ...
Problème proposé par Bernard Vignes Dans un triangle ABC, le point O est le centre du cercle circonscrit (Γ) et I est le centre du cercle inscrit. On trace sur le cercle (Γ) le point D d’où ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un point M à l'intérieur d'un tétraèdre. Quelle est la position de ce point qui rend maximal le produit des distances de M aux faces du tétraèdre?
Par ordre ...
Dans un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ), on trace les points M et N milieux respectifs des côtés BC et AD. Les diagonales AC et BD se rencontrent en un point P.Ce dernier se projette en ...
Dans un triangle ABC (AB < AC), le point M est le milieu du côté BC et la bissectrice issue de A coupe ce côté au point D. Soit E le pied de la perpendiculaire issue de B sur AD. La droite ...
Soit un triangle ABC dont les sommets ont pour coordonnées A(1,8), B(0,0) et C(10,0) dans le plan orthonormé Oxy. On trace un point D de coordonnées (4,3), son symétrique E par rapport à BC, puis le ...
Problème proposé par Dominique Roux Dans un triangle ABC, on trace les médiatrices des trois côtés BC,CA et AB et on prend respectivement les trois points quelconques D,E,F sur ces médiatrices. Démontrer ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit une ellipse (E) dont on ne connaît que la courbe. D'un point O extérieur à (E), on a tracé les deux tangentes à cette ellipse.Construire à la règle et au compas ...
Soit (E) le cercle exinscrit dans l'angle A d'un triangle ABC de périmètre 2p. Ce cercle touche BC,CA,AB en A',B',C' respectivement. La portion du triangle AB'C' extérieure à (E) a pour aire ...
Un disque (rayon r) est posé dans le coin de la pièce, s'appuyant sur le sol et sur les murs qui forment un trièdre trirectangle. Calculer la distance du centre du disque au sommet du trièdre. ...
Calculer le volume commun à deux cylindres de même diamètre d, dont les axes se coupent sous un angle u.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2016
solution ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un triangle ABC acutangle. Les points A',B' et C' sont les symétriques des sommets A,B et C par rapport aux côtés BC,CA et AB. On désigne par S l'aire du triangle ...
Problème proposé par Raymond Bloch d'après une idée de Konstantin Knop Douze astronautes se sont posés sur un petit astéroïde sphérique et décident de l'explorer à partir de leur base de départ ...
Un cercle (Γ) de centre O est tangent intérieurement à un cercle (Γ’) de centre O’. La tangente en un point M de (Γ) coupe le cercle (Γ’) en deux points distincts A et B. Les perpendiculaires en A et ...
On considère un polygone convexe de p côtés que l'on partage en n polygones convexes plus petits (sans recouvrement),chacun de p côtés également, de sorte qu'il n'y a jamais 3 sommets sur une même droite ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
A une conique fixe et à un cercle variable passant par les foyers on mène les tangentes communes. Déterminer le lieu de leurs points de contact avec ...
Quel est le rapport entre rayons du grand et des petits cercles ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2016
solution ...
On sait que les faces adjacentes d'un cube sont orthogonales. Que sauriez-vous dire de l'angle dièdre entre faces adjacentes, pour les autres polyèdres réguliers (tétraèdre, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre)? ...
Un tétraèdre régulier et un octaèdre régulier, de même longueur d'arête, sont posés sur la table. Lequel surpasse l'autre en hauteur ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On trace deux cercles (Γ1) et (Γ2) symétriques l'un de l'autre par rapport à une corde commune BC.Soit un point A courant sur le cercle (Γ1). ...
Problème proposé par Yves Foussard Deux cercles et leur centres sont dessinés sur une feuille de papier. Comment Zig et Puce, le premier avec une règle seule et le second avec un compas seul, opèrent-ils ...
Problèmes proposés par Maurice Bauval Pb1 On donne un cercle (Γ) de centre O passant par un point I. Une droite (Δ) passant par un point A situé sur le rayon OI coupe le cercle (Γ) en deux points M ...
On considère un triangle ABC non isocèle qui dans lequel les points O,I et H désignent respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et l'orthocentre. On trace les milieux ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi. Soit un cercle (Γ) de diamètre AB. A partir d’un point courant C de ce cercle, on trace dans le sens horaire la corde CD de longueur fixe L. Les droites ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit la conique (Γ) et les tangentes T1, T2 et T3 respectivement aux points D, E et F. Les tangentes forment le triangle ABC (B et C sur T1, C et A sur T2, ...
Problème proposé par Dominique Roux Etant donnés deux points A et C, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD). ...
Soient O le centre du cercle circonscrit (Γ) et I le centre du cercle inscrit (γ) d'un triangle ABC. Le cercle (γ) touche le côté BC au point D, la bissectrice AI coupe le cercle (Γ) en un deuxième ...
Pour fabriquer une table circulaire de 143 cm de diamètre,on dispose d'un unique panneau en bois rectangulaire de largeur 100cm dans lequel on découpe deux pièces semi-circulaires.Déterminer la longueur ...
Avec n triangles équilatéraux de côté unité,on pave un hexagone pas nécessairement convexe dont les côtés ont pour longueurs pas nécessairement prises dans cet ordre 1,2,3,4,5,6. Q1 Démontrer ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soient un carré ABCD et O le centre du cercle circonscrit à ce carré. On trace un point P de l'arc CD qui ne contient pas A. Les points K et L sont respectivement ...
Soit un triangle acutangle ABC ayant H pour orthocentre et D le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC. Un cercle passant par les points B et C et le cercle de diamètre AH se coupent en deux points ...
Peut-on avoir six points A,B,C,D,E et F dans l'espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD = 449, AD = BC = AE = BF = 450 et AF = BE = 451?
Par ordre alphabétique
Maurice Bauval,Dominique Chesneau,Daniel ...
On donne deux droites qui se coupent hors de la planche à dessin. Construire leur bissectrice.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2017
solution
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On considère un triangle ABC non isocèle dans lequel les points O,I et Ω désignent respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et le centre du cercle d'Euler. On ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Avec une bande de papier rectangulaire de longueur un mètre, j’ai fait cinq nœuds simples bien serrés puis j’ai scotché les petits côtés bord à bord. ...
Problème proposé par Michel Lafond Il est facile en pliant un carré de papier (selon un pli rectiligne) d’obtenir un polygone à 9 côtés (Figure 1). Mais quel est le nombre maximal ...
Les cercles (C) de centre O et (C') de centre O' se coupent à angle droit en J et K. Soit AB un diamètre de (C) et A'B' le diamètre de (C') perpendiculaire à
AB. Montrer que chacun des points ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales. Déterminer ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin ABCD est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets. Peut-on avoir moins de 180° pour la somme des angles en B et ...
Soit un triangle scalène ABC inscrit dans un cercle (Γ). La tangente en C à ce cercle rencontre la droite (AB) au point D. Soit I le centre du cercle inscrit du triangle ABC. La bissectrice de l'angle ...
Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F.Le cercles de diamètres BF et CE se coupent aux ...
Les deux questions Q1 et Q2 sont indépendantes l'une de l'autre.
Q1 Zig place les points A1,A2,A3 et A4 dans cet ordre sur la circonférence d'un cercle (Γ) puis il trace la parallèle à A1A2 ...
Problème proposé par Patrick Gordon Soit un carré ABCD de côté 1. Q1 - On veut construire à la règle un carré concentrique de ABCD et d’aire q fois plus petite (q entier) et dont les pentes des côtés ...
Un quadrilatère et un pentagone (l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés) admettent dans le plan n points d’intersection distincts. Déterminer la plus grande valeur possible de n. Pour ...
On considère un point M à l'intérieur d'un triangle ABC.La tangente en M au cercle circonscit au triangle BCM rencontre la droite AB au point D et la droite AC au point E. Les cercles circonscrits aux ...
Construire à la règle et au compas un triangle dont on connaît la surface, le périmètre et un angle. Source: Ross Honsberger - A typical problem on an entrance exam for the Ecole Polytechnique
Claudio ...
Montrer que, dans tout triangle ABC, on a
Quand y a-t-il égalité ?
Problème proposé par Pierre Bornsztein (Hypermath, problème G4), paru dans La Jaune ...
Quatre segments EA,ED,FC,FD partagent en 8 l'aire de ce rectangle. Trois de ces 8 parties ont des aires connues, de valeur 9, 35, 6 comme indiqué. Trouver l'aire de la partie grisée avec le ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne dans l'espace euclidien la sphère Σ, les points A, B et C sur Σ formant un triangle équilatéral et le point S extérieur à la sphère.Les droites SA, SB ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne le triangle ABC et une conique qui coupe chaque droite portant les cötés du triangle en 2 points réels : BC en D1/D2, CA en E1/E2, AB enF1/F2. Montrer ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Dans le triangle ABC, les pieds des hauteurs issues des sommets A, B, C sont Ha , Hb et Hc. K et L sont respectivement les projections droites sur AB de Hb et ...
Soit un triangle acutangle ABC (A,B et C dans le sens trigonométrique) tel que AB = c < BC = a < CA = b. Les points O et I sont respectivement le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle ...
On sait que dans un triangle non équilatéral ABC, de côtés a,b,c, le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité G et l'orthocentre H sont alignés, la droite Δ qui les porte ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Le triangle ABC présente en C un angle de 45°. Il est inscrit dans le cercle Γ1 de centre O1. H est son orthocentre, hA,hB,hC les pieds des hauteurs,qui se ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un carton carré est coupé en deux par un coup de ciseaux rectiligne et on répète l’opération sur un des morceaux obtenus, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit un calisson ABCD (réunion de deux triangles équilatéraux). On note W le cercle de diamètre AC et P1,P2,P3,P4,P5 et P6 les points qui partagent AC en sept segments ...
Les tangentes en B et C au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC se rencontrent au point D. Soit F le point symétrique du centre de gravité G du triangle ABC par rapport à la bissectrice intérieure ...
Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π. ...
