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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D298. Zig fait zag sur des cercles Imprimer Envoyer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

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Les deux questions Q1 et Q2 sont indépendantes l'une de l'autre.

Q1 Zig place les points A1,A2,A3 et A4 dans cet ordre sur la circonférence d'un cercle (Γ) puis il  trace la parallèle à A1A2 passant par A4 qui coupe (Γ) en un deuxième point A5.Il répète le processus en traçant la parallèle à AiAi+1***  passant par Ai+3 qui coupe (Γ) en un deuxième point Ai+4. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig obtient un  point qui se confond avec l'un des quatre points d'origine.
Qu'en est-il si les points A1,A2,A3 et A4 sont placés dans un ordre quelconque sur le cercle (Γ)?
***Nota: Si la parallèle à AiAi+1  passant par Ai+3 est tangente au cercle (Γ), alors Ai+4 = Ai+3

Q2 Zig trace deux cercles (γ) et (γ') de même rayon r dont les centres O et O' sont à une distance d < r. Soit un point quelconque B1 de (γ). Zig trace le segment  B1B2 = r avec B2 choisi parmi les deux points possibles sur (γ') puis le segment  B2B3 = r avec le point B3 sur (γ) autre que B1. Il répète le processus en alternant les points Bi sur l'un des deux cercles et Bi+1 (autre que Bi-1) sur l'autre cercle tels que BiBi+1 = r. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig revient au point B1.
Pour les plus courageux: Zig trace le cercle (γ) de rayon r puis le cercle (γ') de rayon r' < r centré sur la circonférence de (γ). A partir d'un point quelconque B1 de (γ'), Zig trace successivement les points B2,B3,...en alternance sur les cercles (γ) et (γ') tels que BiBi+1 = r. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig revient au point B1.


pdfJoël Benoist,pdfClaude Felloneau,pdfMaurice Bauval,pdfPierre Henri Palmade,pdfJean-Louis Legrand,pdfPierre Leteurtre, Patrick Gordon ont résolu tout ou partie du problème.
On lira aussi avec intérêt  l'article de Françoise Pécaut pdfZigzags entre deux cercles paru en octobre 2004 dans le bulletin trimestriel n°454 de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP).

 
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