Trouver treize nombres entiers naturels positifs et distincts entre eux tels que la somme de douze d'entre eux est toujours égale à un carré parfait.
Pour les plus audacieux : existe-t-il ...
Trouver 4 entiers p, q, r, s distincts avec 0<p<q<r<s et s le plus petit possible, tels que pqrs = p2+q2+r2+s2
Pour quelles valeurs de n existe-t-il des n-uples de nombres entiers ...
Diophante a découvert qu'il existait deux pyramides distinctes qui avaient la forme de deux tétraèdres dont tous les côtés s'exprimaient en nombre entier de mètres et qui avaient même volume et même ...
Quel est le plus petit volume d'un tétraèdre ABCD dont les arêtes sont mesurées par des nombres entiers tous différents ? Existe-t-il un polyèdre dont les arêtes sont mesurées par des entiers tous ...
Un point à l'intérieur d'un tétraèdre régulier ABCD (les 6 côtés sont égaux entre eux), est situé à une distance de 40 mètres du sommet A, de 50 mètres du sommet B, de 60 mètres du sommet C et de 70 ...
Diophante et Hippolyte circulent à l'intérieur d'une pyramide qui a la forme d'un tétraèdre régulier ABCD dont les côtés ont une longueur s exprimée en coudées royales* qui est un nombre entier inférieur ...
Le sultan d'Oman Abdullah est sollicité par son grand argentier pour payer la solde de la garde du palais qui chaque matin se rassemble en carré dans la cour centrale. Le sultan est riche mais ...
Diophante a l'intention d'installer un superbe pigeonnier dans son jardin. Il demande à son architecte Hippolyte de construire les niches des pigeons à différentes hauteurs entières de telle ...
Diophante a déjà bâti sa maison dans un triangle équilatéral située à des distances entières distinctes des sommets du terrain et de la prairie (voir A410). Il souhaite maintenant acquérir un terrain ...
Diophante recherche deux terrains contigus : il souhaite que le premier destiné à la construction de sa maison M ait la forme d'un triangle équilatéral ABC et que le deuxième soit une prairie ...
Ayant depuis 5 mois (plus précisément 22 semaines) un bureau dans les anciens locaux de l'X rue Descartes, je fréquente (2 à 4 fois par semaine) le restaurant administratif qui a remplacé le ...
Déterminer tous les points à coordonnées entières de l'hyperbole d'équation x2-dxy+y2=1, avec d entier supérieur à 2.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2012
solution ...
On suppose que l'équation 1/x+1/y+1/z=4/n (où n est un entier donné plus grand que 1), n'a pas de solution en entiers positifs x,y,z. Montrez que n-1 est multiple de 24. Problème paru dans La Jaune ...
En quelles bases de numération peut-on trouver des carrés qui s'écrivent : a) 111 ; b) 222 ; c) 333 ? etc.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2013
solution ...
Trouver une famille d'entiers distincts a,b,c, premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que a2b+b2c+c2a=3abc.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2016
...
Trouver les triplets d'entiers a,b,c (suites croissabtes au sens large) vérifiant
arctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)=45°.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2016 ...
Pouvez-vous trouver trois fractions égyptiennes (numérateur 1, dénominateur entier) dont la somme
1/a+1/b+1/c= 4/2017 ?
Il y a plusieurs solutions (avec a,b,c en ordre croissant), sauriez-vous ...
A319-Nombres_astronomiques-solution
A283-solution
Diophante montre à son ami Hippolyte un papyrus sur lequel il a écrit la fraction décimale 833 / 3332
« Cette fraction a quelque chose de magique, lui dit-il, elle vaut 1 / 4. Insère un ...
Un nombre entier est appelé nombre jumeau si sa représentation décimale est la juxtaposition de deux nombres identiques, chacun de ces deux nombres ne commençant pas par un zéro. Par exemple 49 567 ...
Un nombre entier N est dit « cyclique de rang 1 et de coefficient k» si en faisant passer son dernier chiffre en première position, le nouvel entier N’ est un multiple de N tel que N’=k*N. ...
Trouver l’ensemble de tous les entiers naturels palindromes qui ne contiennent pas le chiffre 0 et dont les carrés sont également palindromes.
Même question si les nombres peuvent contenir le chiffre ...
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche.Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, ...
Problème n°1
Au milieu du printemps, on installe des bœufs dans un pré où l’herbe est à une certaine hauteur que l’on suppose uniforme sur toute la superficie du pré. On suppose que l’herbe continue ...
Dans un désert, il y a des souris, des serpents et des scorpions. Chaque matin un serpent se nourrit d’une souris ; à midi, chaque scorpion pique un serpent et le tue et le soir chaque souris ...
En 2003,dans une conférence internationale, il y avait quatre langues officielles. Quels que soient les couples de participants, il y avait au moins une langue que les deux personnes connaissaient. ...
La fonction f est définie sur l’ensemble des nombres réels de l’intervalle [0,1] et prend ses valeurs sur le même intervalle [0,1].
Elle est telle que :
f est non dé: si x ≥ y , alors ...
Comment partager un carré en deux rectangles dont le plus petit peut s’insérer dans le plus grand avec chacun de ses sommets placés sur chacun des côtés du plus grand.
A230-solution.pdf ...
On suppose qu’un colis de forme parallélépipédique ABCDEFGH est accepté par les Postes si son calibre défini par la longueur CE + le périmètre de la plus petite base ABCD n’excède pas 90 centimètres. ...
Problèmes proposés par Jean Luc Piedanna.
Problème 1 : vous devez faire passer un grand tableau carré qui a la hauteur du plafond de 5 mètres dans l’angle droit d’un couloir dont la largeur ...
Les coefficients d’un polynôme du sixième degré P(x) sont des entiers et ses racines sont six nombres premiers distincts entre eux. Il existe deux entiers A et B tels que P(A)=65536 et P(B)=45441. Par ...
Remplacer le symbole par l’un des opérateurs traditionnels + ou – pour que l’équation suivante soit satisfaite :
= 2
Trouver les deux symboles et pour que l’on ait la relation : ...
Diophante se souvient d’un exercice bien curieux sur un polynôme du 3ème degré qu’il avait traité étant jeune collégien. Le professeur avait écrit sur le tableau le polynôme p(x) = x3 + px2 + qx + ...
Soit P(x) un polynôme dont les coefficients sont tous des entiers relatifs. On sait que P(0)=0 et P(1)=2.
Parmi les dix termes P(4), P(5),….P(13), combien peuvent-ils être des carrés parfaits ? ...
Diophante et Hippolyte participent régulièrement au marathon organisé tous les quatre ans à Olympie. Au cours du dernier marathon dont la distance est immuablement égale à 42,195 kilomètres, Hippolyte ...
En 2001 le site de USA Mathematical Talent Search proposait l’exercice suivant : trouver x réel satisfaisant l’équation f(x) = 2001 avec f(x) = x.ent[ent[ent[ent[x]]] où ent[ ] désigne la partie entière ...
On considère l’expression f(N,k) = dans laquelle f est une fonction à valeurs réelles positives définie sur l’ensemble des entiers naturels N >0 et k est un paramètre lui-même entier naturel positif. ...
On considère la suite définie par an+1 = an - 1/an et a1 = 63. Démontrer sans l’aide d’un ordinateur ou d’une calculette programmable que le premier indice i où l’on rencontre le premier terme ...
Quel est le nombre mystérieux qui se cache dans les trois rubriques ci-après ? 1)On considère la suite constituée des fractions 4/1 < 25/4 < 169/25 <… dans laquelle : -tous les numérateurs ...
Après une réparation fantaisiste de l’horloger, l’aiguille des heures et l’aiguille des minutes de ma pendule sont rigoureusement identiques. A un instant donné puis-je malgré tout dire l’heure exacte? ...
Diophante propose à Hippolyte et Théophile le jeu suivant : -Je vous donne le polynôme du second degré P(x) = x2 + 4x +2006 .L’un de vous deux choisit un entier p parmi l’ensemble des trois ...
Pour chacun des trois exercices ci-après qui sont indépendants les uns des autres, on considère une fonction f définie sur l’ensemble N* des entiers > 0 et à valeurs dans N* .
Premier exercice ...
A287-Toutes les suites mènent à 2007-énoncé
Jean Moreau de Saint-Martin,Pierre Henri Palmade et Daniel Collignon ont résolu le problème.
Le 31 décembre 2007, j’ai placé en banque une somme S avec intérêts capitalisés au taux annuel fixe r. C’est la plus petite somme possible qui me permet ainsi qu’à mes descendants de retirer la somme ...
La très connue suite harmonique est de la forme an = 1 +1/2 +1/3 +1/4 +...+ 1/n. Il est bien connu que cette suite est divergente et qu’elle tend (lentement) vers l’infini quand n tend vers l’infini. ...
En 2003, les 999 membres d'une association ont élu à bulletin secret les 6 membres de leur conseil d'administration selon la règle de la représentation proportionnelle au plus fort reste. Trois listes ...
A1915-Jongleries_n°2_avec_les_chiffres_- énoncé
Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Fabien Gigante,Claude Morin,Vincent Vermaut et Michel Boulant ont résolu ...
Montrer que si la différence des cubes de deux entiers consécutifs est le carré d'un entier N, alors N est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
Jean Moreau de Saint Martin, Fabien ...
On écrit le millésime a = 2007 sur une première ligne. Puis on écrit les deux nombres a+1= 2008 et a2 = 4 028 049 sur une deuxième ligne. On poursuit de la même façon ligne
après ligne, en écrivant ...
On considère un entier naturel n quelconque supérieur à 10 et dont au moins deux chiffres sont de parités différentes. On lui ajoute l'un de ses chiffres non nul de façon à obtenir une famille ...
A173-Parties_entières_en_série-énoncé A173-Parties_entières_en_série-solution
On constate en 2003 que la série alternée S = 1 - 1/2 +1/3 - 1/4 + 1/5- ....-1/1334 + 1/1335 mise sous la forme S = N/D avec N et D entiers irréductibles, est caractérisée par la divisibilité ...
Trouver tous les entiers n tels que la suite contienne chacun des entiers naturels 1,2,...,n une fois et une seule et pour tout k variant de 1 à n , l'entier k divise x1 + x2 + ....+ xk
Existe-t-il ...
Problème proposé par Pierre Henri Palmade. 1) Par combien de zéros se termine la factorielle de 2005 = 2005!=1*2*3*...*2004*2005 ? 2) Quel est le dernier chiffre non nul de 2005! ? 3) A partir ...
Diophante a une belle collection de cent lézards verts de la vallée du Nil : 31 parmi eux ont une couleur vert amande (VA), 34 une couleur vert bronze (VB) et les 35 restants une couleur vert-de-gris ...
Trouver une séquence croissante S d'entiers >= 0 de la forme 0<= a0 < a1 < a2 ...< an telle que tout entier N appartenant à l'intervalle [0,3an] puisse s'exprimer d'une seule manière ...
Dans une séquence quelconque de nombres entiers positifs ou nuls, on suppose qu'on peut remplacer deux termes a et b par la somme a + b et par la valeur absolue de la différence a - b. En partant ...
On a un entier naturel N quelconque. Deux opérations sont possibles : on le multiplie par 7 pour obtenir 7N ou bien quand N >9, on supprime le dernier chiffre pour ne garder que la partie entière ...
Exercice n°1
Soient deux entiers positifs distincts l'un de l'autre. On calcule successivement puis puis et ainsi de suite. - Démontrer qu'il existe un entier n tel que x = 0. - Trouver la ...
On considère une liste de k nombres distincts entre eux. On peut ajouter à cette liste un (k+1)-ième terme qui est la moyenne arithmétique de tout ou partie des k nombres à la seule condition que celle-ci ...
Diophante dispose en cercle n enfants ( n > 5) et leur distribue toutes les billes extraites d'un sac dont la contenance maximale est de 250 billes. Il circule autour du cercle dans le sens inverse ...
Les puissances de 2 pour n=0,1,2,3,4,5,6,... sont bien connues : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....
On peut empiler certaines de ces puissances dans une tour les unes au dessus des autres sans qu'elles ...
Montrer que quel que soit n entier positif >3, on a l'inégalité suivante :
Parmi les cent premiers nombres entiers naturels 1,2,3,...,100, trouver le plus grand sous-ensemble possible d'entiers tels que les PPCM de toutes les paires possibles soient tous différents. Source ...
Trouver une séquence de 38 entiers naturels tels qu'aucun d'entre eux n'ait une somme de chiffres divisible par 11. A125-solution
Ce problème a été posé aux Olympiades de la zone baltique en 1990 : On part de l'entier naturel N= 4 et on choisit l'une des trois règles suivantes pour déterminer un nouveau nombre entier naturel ...
Une station météo locale fournit les données de la pluviosité journalière pour les mois de septembre, octobre et novembre. La quantité d'eau tombée chaque jour est donnée arrondie au millimètre. Les ...
Problème N°1
a) Exprimer 2004 à l'aide des chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans n'importe quel ordre avec les seuls opérateurs + et x comme si les opérations étaient réalisées sur une calculette ...
Dans
la séquence de dix chiffres tous différents 1238965740 intercaler de deux manières différentes trois signes de multiplication
de manière à obtenir quatre nombres a,b,c,d
et ...
