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Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ).
On désigne par Ha l’orthocentre du triangle BCD et par Pa ,Qa et Ra les projections de A sur les droites BC,CD et DB.
De manière analogue on définit respectivement pour chacun des points B,C et D :
- Hb orthocentre du triangle CDA et les projections successives de B : Pb sur CD, Qb sur DA et Rb sur AC,
- Hc orthocentre du triangle DAB et les projections successives de C : Pc sur DA, Qc sur AB et Rc sur BD,
- Hd orthocentre du triangle ABC et les projections successives de D : Pd sur AB, Qd sur BC et Rd sur CA.
Q1 Démontrer que les huit droites PaQa , PbQb, PcQc, PdQd, AHa, BHb, CHc et DHd sont concourantes en un même point S.
On considère le quadrilatère HaHbHcHd et on trace sur les droites passant par ses sommets les quatre ensembles de trois points Xi ,Yi, Zi, homologues aux points Pi ,Qi, Ri pour i = a,b,c,d.
Q2 Démontrer que :
- les vingt-quatre points Pa....Zd se répartissent à la fois en trois sous-ensembles de huit points situés sur trois cercles concentriques de centre S et en quatre sous-ensembles de six points situés sur quatre droites concourantes en S
- les huit cercles d’Euler des triangles ABC, BCD, CDA, DAB, HaHbHc, HbHcHd, HcHdHa, HdHaHb. passent par ce même point S.
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