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Dans un triangle ABC non isocèle on trace six points : le centre O du cercle circonscrit, le centre I du cercle inscrit, l'orthocentre H, le centre de gravité G, le centre Ω du cercle d'Euler et le point de Nagel N.
Déterminer tous les triangles rectangles non aplatis que l'on peut former en choisissant trois points parmi ces six points, le premier d'entre eux désignant le sommet de l'angle droit.
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Problèmes proposés par Dominique Roux
8ème épisode
Deux points A et C étant donnés, pour tout point B que l'on projette en D sur AC, on considère les centres des cercles inscrits des 3 triangles obtenus ( ABC) , (ABD) , (BCD).
A quelle courbe le point B doit-il appartenir pour que le cercle passant par ces 3 centres soit centré sur AC ?
9ème épisode
Deux points A et C étant donnés, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles exinscrits dans l'angle B pour les triangles (ABC), (ABD), (BCD).
A quelle courbe le point B doit-il appartenir pour que le cercle passant par ces trois centres soit tangent à AC ?
Nota: dans les deux problèmes, on cherchera une courbe de degré aussi petit que possible
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Trouver le plus grand entier n tel qu'il existe une suite composée de n entiers strictement positifs dans laquelle chaque terme ne divise pas les n − 1 autres et parmi trois termes quelconques, l'un divise la somme des deux autres.
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Problèmes ouverts
