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On considère les k entiers relatifs a1, a2,...,ak ≥– 1 tels que a1 + a2 + ... + ak = k.
Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a1 + a2).(a2 + a3)...(ak-1 + ak).(ak + a1) dans les cas suivants :
Q1 k est impair et prend successivement les valeurs 3,5,7,9.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p + 1.
Q2 k est pair et prend successivement les valeurs 4,6,8,10.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p.
(1)Source : Olympiades de mathématiques 2019 en Chine.
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Le pharaon Khéops demande à son vizir Hemiounou de concevoir deux pyramides à base carrée construites avec des blocs de pierre calcaire cubiques d’une coudée(1) de côté de sorte qu’il soit possible de construire une troisième pyramide toujours à base carrée en réutilisant les blocs de pierre des deux premières.
Prouver que le vizir est en mesure de répondre au vœu de son roi selon les hypothèses suivantes sur le nombre N total de blocs de pierre utilisés pour construire les deux pyramides :
Q1 : N < 100 000
Q2 100 000 ≤ N < 1 000 000
Q3 1 000 000 ≤ N < 10 000 000
Q4 10 000 000 ≤ N < 100 000 000
Pour les plus courageux [*****] : on désigne par P(n) le nombre de blocs de pierre utilisés pour construire une pyramide dont la base carré a pour côté n coudées.
k étant un entier positif quelconque, existe-t-il des entiers a et b tels que P(a) + P(b) = P(b + k) ?
(1) environ 52 cm
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Problèmes ouverts
