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On considère les k entiers relatifs a1, a2,...,ak ≥– 1 tels que a1 + a2 + ... + ak = k.
Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a1 + a2).(a2 + a3)...(ak-1 + ak).(ak + a1) dans les cas suivants :
Q1 k est impair et prend successivement les valeurs 3,5,7,9.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p + 1.
Q2 k est pair et prend successivement les valeurs 4,6,8,10.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p.
(1)Source : Olympiades de mathématiques 2019 en Chine.
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Problème proposé par David Draï
Je trace deux triangles équilatéraux, le premier de côté 3 centimètres et le second de côté 5 centimètres.
Dans le premier triangle je choisis au hasard un premier point sur l'un des trois côtés puis un deuxième point sur l'un des deux autres côtés. Dans le second triangle, je choisis au hasard deux points intérieurs (côtés inclus).
Q1 Déterminer dans chacun des deux triangles la longueur moyenne* du segment joignant les deux points ainsi choisis.
Q2 Je réalise 1000 fois l’expérience dans chacun des deux triangles de façon à estimer la longueur moyenne du segment avec une probabilité de ne pas me tromper égale à 95%. Déterminer le triangle où l'estimation de la longueur moyenne du segment est la plus précise.
* Nota: i.e. l'espérance mathématique de la longueur du segment
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Problèmes ouverts
