S₁ Les points du plan sont coloriés en vert et jaune. Prouver que l’une des deux couleurs contient des points placés à n’importe quelle distance les uns des autres.

S₂ Les entiers naturels sont coloriés en rouge et bleu. La somme de deux entiers de couleurs différentes est bleue et leur produit est rouge.
 Q1 Déterminer la couleur d’un entier qui est le produit de deux entiers rouges.
 Q2 Il y a 119 nombres entiers rouges strictement inférieurs à 2025 que l’on classe par ordre croissant.    
 Déterminer le 19^ième de la liste.

S₃ On trace dans le plan xOy un losange équilatéral OABC avec A sur l’axe des abscisses et  AOC = 60°.    
 Q₁ Montrer qu’il existe une rotation d’angle α  autour de O telle que OABC devient OA’B’C’ avec BB’ =  BC.
 Q₂ En déduire que si les points du plan sont coloriés en rouge, bleu et jaune alors il y a nécessairement deux points du plan séparés de la distance 2025 qui sont de même couleur.

S₄ L’unique salle d’exposition de ce musée d’art contemporain a la forme originale d’un polygone à 14 côtés.      
                                                           
 Q₁ En coloriant de manière appropriée les sommets de ce polygone, déterminer le nombre minimum de gardiens  qui permet d’en assurer la surveillance.
 Q₂ Pour les plus courageux : quel est le nombre minimum de gardiens avec un n-gone simple qui n’est pas croisé et ne contient pas de trous ?