Q₁ : Soit un entier n qui est une puissance de 2.Démontrer que parmi 2n – 1 entiers naturels, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[***]
Q₂ : Généraliser avec un entier n positif quelconque en démontrant que parmi 2n-1 entiers, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[*****]

Trouver toutes les solutions non négatives du système de 2012 équations défini par les relations :(x₁ + x₂ + ...+x_k).(x_k + x_k+1 + ...+x₂₀₁₂)= 1  pour k = 1,2,...,2012

Note liminaire : en faisant appel à des approches différentes (géométrie classique, géométrie projective, complexes, géométrie analytique,etc...),le lecteur est invité à donner plusieurs solutions de ce problème.
Dans un triangle ABC d’orthocentre H, on désigne respectivement par A₁,A₂ et A₃le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC, le point d’intersection de cette hauteur avec le cercle circonscrit au triangle et le milieu de AH. De la même manière on définit B₁,B₂ et B₃ avec la hauteur issue de B et enfin C₁,C₂ et C₃ avec la hauteur issue de C.
On considère les quatre couples de droites (BC, B₁C₁), (B₂C₂, B₃C₃),(B₁C₃, BC₂) et (B₂C, B₃C₁) qui se rencontrent respectivement en I, I₁, I₂ et I₃  De la même manière par permutation des lettres B,C,A on obtient les huit autres points : J, J₁, J₂ et J₃  et enfin K,K₁,K₂ et K₃ .
Démontrer que les douze points I, I₁, I₂, I₃, J, J₁, J₂, J₃, K, K₁, K₂ et K₃ sont sur une même droite.

Cette grille est proposée par Jean-Michel BERNARD

Tous les nombres sont différents
Aucun nombre ne commence par zéro.
pdc : produit des chiffres d'un nombre
sdc = somme des chiffres d'un nombre
Nombres premiers sexys : ils sont de la forme p et p + 6

Horizontalement
A₁ Vaut A₂*C₂
A₂ Nombre premier dont le pdc est premier
B₁ Nombre pair à la puissance p, p étant le sixième chiffre de D₁
C₁ Vaut E₂*H₂
C₂ Nombre premier dont la sdc vaut 10
D₁ Puissance impaire de son deuxième chiffre
E₁ Vaut A₁ + C₁
E₂ Nombre premier
F₁ Cube d'un nombre premier
G₁ Vaut A₁*C₁
H₁ Nombre premier dont la sdc est un nombre pair
H₂ Nombre premier, sexy de E₂ et supérieur à E₂
I₁ Vaut (C1 - A1)²

Verticalement
a₁ Nombre premier contenant quatre 3
b₁ Le rapport entre le plus grand et le plus petit de ses facteurs premiers est inférieur à 5 500
c₁ Nombre premier
d₁ Nombre premier dont le pdc est non nul
e₁ Nombre premier
f₁ Cube dont la sdc est un carré
g₁ Nombre premier dont le produit des chiffres non nuls vaut 24
h₁ Nombre pair
i₁ Nombre premier avec quatre 7