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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
Problèmes ouverts
A1718. Du rififi chez les phi (2ème épisode) Imprimer Envoyer

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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Soit un entier k > 1.Pour k variant de 2 à 8, calculer successivement les plus petits entiers nk tels que  
φ(nk) / nk  < 1/k puis calculer le nombre de chiffres du plus petit entier n10  tel que φ(n10) / n10  < 1/10



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A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode) Imprimer Envoyer

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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Soit un entier m > 0. On désigne par φ-1(m) l’image réciproque de m par l’application φ, c'est-à-dire l’ensemble des entiers positifs n tels que φ(n) = m.
Q1 Déterminer les entiers impairs m tels que φ-1(m) n’est pas vide.
Q2 Prouver que pour tout entier m pair φ-1(m)  contient un nombre fini d’éléments.
Q3 Prouver que si les entiers n et m sont relativement premiers entre eux et φ(n) = m, alors 2n appartient à φ-1(m).
Q4 Déterminer le plus petit entier pair m tel que φ-1(m) est vide.
Q5 Déterminer φ-1(26),  φ-1(44) , φ-1(50) ,φ-1(72) , φ-1(98), φ-1(2020) et plus généralement φ-1(2. 7k) avec k entier > 0.



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B144. A la poursuite de la bimagie Imprimer Envoyer

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Problème proposé par Jacques Boudier

Q1 Démontrer que l’on sait trouver au moins un entier N strictement positif qui  est la somme de deux carrés parfaits d'au moins quatre manières différentes, à savoir N = a² + b² = c² + d² = e² + f² = g² + h² avec a,b,c,d,e,f,g,h entiers distincts > 0 obéissant à la relation ab + cd  = 2(ef + gh).

Q2  On suppose qu’il existe un carré magique Cb (5x5) qui reste magique si les 25 entiers positifs distincts qu’il contient sont élevés au carré. Cb est alors appelé carré bimagique. A l’intérieur de Cb, on retient les 17 entiers repérés par les croix noires (X) qui forment une étoile bimagique Eb.
                                                              B144
Donner l’exemple d’une telle étoile dont tous les termes positifs sont inférieurs à 2020. Montrer que l’on peut compléter cette étoile avec huit entiers positifs (x) placés le long des bords  du carré (5x5)  de sorte que le carré constitué des 25 entiers soit magique.
Pour les plus courageux : est-il possible que le carré (5 x 5) ainsi obtenu soit bimagique ?



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D2924. Le jardin des géomètres (2ème scène) Imprimer Envoyer

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On reprend l'énoncé du problème D2923-Le jardin des géomètres (1ère scène)

Démontrer que :
-  les droites AC,GH et IJ sont concourantes en un même point U (Ulugh Beg),
-  les droites BD,GJ et HI concourantes en un même point V (Viète),
-  les quatre points E,F,U et V sont alignés.
Démontrer que les droites KL et MN passent par les milieux W (Wantzel) et X (Xu Guangqi) des segments EF et UV.
Du milieu Y(Yoshida) de TZ on trace les tangentes aux deux cercles (ω) et (Ω).
Démontrer que T,Z et les quatre points de tangence ainsi obtenus sont cocycliques.



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D2925. Le jardin des géomètres- 3ème scène Imprimer Envoyer

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On reprend les notations de D2923 et de D2924
Un cocktail de cercles…
Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles ABE,ADF,BCF et CDE concourent en un même point dont on précisera la nature.
La droite EO rencontre les côtés AB et CD  du quadrilatère ABCD aux points G₁ et I₁ et la droite FO rencontre les côtés AD et BC aux points H₁ et J₁.
Démontrer que :
- le cercle de centre OE tangent en H₁ et J₁ aux côtés BC et AD du quadrilatère ABCD est tangent intérieurement en TE au cercle circonscrit au triangle CDE,
- le cercle de centre OF tangent en G₁ et I₁ aux côtés AB et CD est tangent intérieurement en TF au cercle circonscrit au triangle BCF,
- les points F,G,O,I et TE sont cocycliques de même que les points E,J,O,H et TF,
- le cercle circonscrit au triangle CTETF est tangent en C au cercle (ω) circonscrit au triangle ABC.





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Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
 
G1915. Deux quadrillages posés l'un sur l'autre Imprimer Envoyer

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Problème proposé par Dominique Chesneau
On pose l’un sur l’autre et de façon aléatoire(1) deux quadrillages orthonormés dont les bandes ont pour largeur 10 centimètres. Déterminer la surface moyenne des morceaux disjoints délimités par les intersections des lignes droites de ces deux quadrillages.

(1)Nota: de façon plus précise l'angle entre les bandes des deux quadrillages est choisi au hasard



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