Q₁ Prouver qu’il existe au moins douze couples d’entiers strictement positifs [n,k] telles que                              
                                                               
où n! désigne la factorielle de n et   désigne la partie entière par excès de x.[*]
Q₂ Existe-t-il une infinité dénombrable de telles paires ?[*****]

Soit un entier k > 0.On s’intéresse à la suite S_k des entiers n tels que l’entier n² + k est divisible par deux de ses diviseurs positifs dont la différence est égale à n.
Par exemple n = 2 appartient à S₂. En effet l’entier n² + 2 = 6 admet pour diviseurs 3 et 1 dont la différence est égale à 2.
Q₁ Démontrer que S₁ contient un terme sur deux d’une suite d’entiers remarquable.
Q₂ Démontrer que pour tout k >0,  S_k contient une infinité dénombrable de termes.
Q₃ Trouver tous les entiers communs à S₁ et à S₁₂.