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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
Problèmes ouverts
A2837. Etêtages en série Imprimer Envoyer

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Sur l’ensemble des rationnels Q+et Q- , on considère les 16 équations a2837-01. Dans chacune d’elles, l’expression du membre de gauche contient quatre parties entières qui sont imbriquées les unes dans les autres avec des  indices i1, i2, i3 et i4 prenant les valeurs 1 ou 2,a2837-02 désigne la valeur entière par défaut de la variable y  et a2837-03désigne la valeur entière par excès de la variable y .
Ainsi :
 a2837-04 correspond à l’écriture traditionnelle  a2837-05  de quatre parties entières par défaut imbriquées les unes dans les autres,
  a2837-06 correspond à l’écriture traditionnelle  a2837-07de quatre parties entières par excès imbriquées les unes dans les autres,
 a2837-08s’interprète de la manière suivante : partie entière par défaut de [ x multiplié par la partie entière par excès de [ x  multiplié par la partie entière par excès de [x multiplié par la partie entière par défaut de x]]].
Par exemple avec x = 5,25 en partant de la droite  on a les résultats successifs suivants:
  a2837-09= 5 puisa2837-10  , puis a2837-11 et enfin a2837-12 .  Donc a2837-13  = 745
Par ailleurs on précise que  a2837-14 = 2 et  a2837-15 = – 5 ,  a2837-16 = 8 et  a2837-17 = ‒ 5
Déterminer parmi les seize équations celles qui ont au moins une solution dans Q+et Q-.
Pour les plus courageux: décrire les plages de solutions possibles sur l'ensemble des réels.



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D2928. Un carrefour très fréquenté Imprimer Envoyer

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Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ).
On désigne par Ha l’orthocentre du triangle BCD et par Pa ,Qa et Ra les projections de A sur les droites BC,CD et DB.
De manière analogue on définit respectivement pour chacun des points B,C et D :
-    Hb orthocentre du triangle CDA et les projections successives de B : Pb sur CD, Qb sur DA et Rb sur AC,
-    Hc orthocentre du triangle DAB et les projections successives de C : Pc sur DA, Qc sur AB et Rc sur  BD,
-    Hd orthocentre du triangle ABC et les projections successives de D : Pd sur AB, Qd sur BC et Rd sur CA.
Q1 Démontrer que les huit droites PaQa , PbQb, PcQc, PdQd, AHa, BHb, CHc et DHd sont concourantes en un même point S.
On considère le quadrilatère HaHbHcHd et on trace sur les droites passant par ses sommets les quatre ensembles de trois points Xi ,Yi, Zi, homologues aux points Pi ,Qi, Ri pour i = a,b,c,d.
Q2 Démontrer que :
-    les vingt-quatre points Pa....Zd se répartissent à la fois en trois sous-ensembles de huit points situés sur trois cercles concentriques de centre S et en quatre sous-ensembles de six points situés sur quatre droites concourantes en S
-    les huit cercles d’Euler des triangles ABC, BCD, CDA, DAB, HaHbHc, HbHcHd, HcHdHa, HdHaHb. passent par ce même point S.



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G1915. Deux quadrillages posés l'un sur l'autre Imprimer Envoyer

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Problème proposé par Dominique Chesneau
On pose l’un sur l’autre et de façon aléatoire(1) deux quadrillages orthonormés dont les bandes ont pour largeur 10 centimètres. Déterminer la surface moyenne des morceaux disjoints délimités par les intersections des lignes droites de ces deux quadrillages.

(1)Nota: de façon plus précise l'angle entre les bandes des deux quadrillages est choisi au hasard



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