Un plan coupe un ellipsoïde d'axes de longueur 2a, 2b et 2c (en ordre croissant) de telle sorte que l'intersection est un cercle. Quel est le diamètre maximal de ce cercle ? Problème proposé par ...
Un cube d'arête 1 tourne autour de sa grande diagonale AC'. a) Quel est le volume de la portion d'espace balayée par le cube dans sa rotation ? b) (pour les plus trapus) Quelle est l'aire ...
On donne un ensemble A de n points (au moins 3) dans le plan, sans qu'il y en ait 3 d'alignés. Montrer qu'il existe un ensemble B de 2n-5 points du plan, avec la propriété suivante : pour tout ...
Soit ABC un triangle quelconque. Sur ses côtés et vers l'extérieur on construit 3 autres triangles : PBC d'angles 45° en B et 30° en C ; AQC d'angles 45° en A et 30° en C ; ABR d'angles ...
Une pizza est un disque circulaire, agrémenté de garnitures diverses (pâte d'anchois, coulis de tomate, mozzarella, ... à votre goût), également de formes circulaires mais ces cercles sont ...
L'angle de crête, dans le vocabulaire de l'automobile, est l'angle d'un dièdre sur lequel le véhicule peut passer sans toucher l'arête (sauf par ses roues). Connaissant le diamètre des roues ...
Les Japonais donnent volontiers à leurs ex-voto (Sangaku) des formes géométriques à base de cercles. Par exemple, on trace une droite D où sont marqués des points A1,A2,... (dans cet ordre) ...
On plie le triangle acutangle ABC le long des segments QR, RP, PQ, joignant les milieux des côtés, de façon que les sommets A,B,C coïncident, formant un tétraèdre PQRS. Quel est le volume de ce tétraèdre ...
Comment placer quatre candidats dans une salle triangulaire, en maximisant la plus petite des distances entre deux candidats ? (On assimilera à un point chaque candidat avec sa table.) Problème ...
On donne 5 points A,B,C,D,E dans le plan. On demande de construire un pentagone ayant ces points pour milieux des côtés. Si vous avez un compas mais pas de règle, combien d'arcs de cercle allez-vous ...
On donne dans un plan P de l'espace R3 deux coniques. A quelle condition peut-on trouver dans cet espace un plan Q et un point lumineux S tels que l'ombre des coniques sur le plan Q soit constituée ...
a) Deux disques circulaires de même rayon se recouvrent sur la moitié de leur surface. Sous quel angle se coupent leurs bords ? b) Deux boules (sphères pleines) de même rayon ont en commun ...
On donne dans un plan un point P, un cercle (C) ne passant pas par P, et sur ce cercle deux points A et B. A toute corde MN passant par P on fait correspondre le point Q, intersection de AM et BN. ...
On veut diviser un champ carré en $N$ parcelles carrées, par des segments parallèles aux côtés. Les parcelles peuvent être de tailles différentes, et ne sont pas nécessairement de tailles toutes ...
L'étang au Héron est un quadrilatère bordé par un pré carré de 36,10 hectares, un bois carré de 16,66 hectares, et deux champs carrés de 24,20 hectares et 10,88 hectares respectivement. Quelle est la ...
Dans un carré ABCD, le point intérieur M est tel que MA=1, MB=2, MC=3. Que vaut l'angle AMB ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2003 solution
Etant donné un cylindre elliptique et un point intérieur F, trouver un plan qui coupe ce cylindre selon une ellipse de foyer F. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2003 solution ...
Sur chacun des 3 côtés BC,CA,AB d'un triangle quelconque et extérieurement, on construit 3 carrés dont les centres sont P, Q et R. Montrer que les segments PQ et CR sont égaux et orthogonaux. ...
Problème 1 : Dans un triangle équilatéral, on trace les 6 droites qui joignent les sommets du triangle aux points qui partagent le côté opposé en 3 segments de même longueur. Quelle est l'aire ...
Un jardin public a la forme d'un triangle ABC. Il est bordé d'allées. Des bancs ont été posés aux extrémités B et C du plus grand côté. Le jardinier projette de relier les deux autres côtés ...
Une plaque homogène a la forme d'un quadrilatère ABCD. Comment feriez-vous pour construire son centre de gravité ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2009
solution ...
Un rectangle ABCD a pour côté AB le grand axe d'une ellipse E et pour centre O une extrémité du petit axe de E. On prend un point P sur E hors du rectangle. Montrer que les 3 segments déterminés ...
Soient B et C deux points fixes du plan et P un point variable sur la médiatrice de BC. Lieu du point A intersection de PB et de la perpendiculaire élevée en C à CP. Problème proposé par François ...
Soit un triangle de base a et de hauteur h. Donnez une interprétation géométrique simple -- de la longueur x, moyenne géométrique de a et h (ah=x2), -- de la longueur y, moyenne harmonique ...
Quatre points sont donnés dans le plan. En les prenant 3 par 3, on forme 4 triangles dont on construit les cercles des neuf points (cercles d'Euler). Montrer que ces 4 cercles ont un point ...
Soit un triangle SAB tel que les angles (SA,SH) et (SM,SB) sont égaux, SH et SM étant la hauteur et la médiane issues de S. Montrer que les côtés SA et SB sont égaux ou perpendiculaires. ...
Montrer géométriquement qu'un triangle ABC dont les bissectrices intérieures BB' et CC' sont de même longueur est isocèle. Avis de recherche proposé par Jean-Marc Chabanas, paru dans La Jaune ...
Sur un napperon circulaire en papier, on marque un point fixe P. Prenant un point Q sur le bord du napperon, on plie le papier de façon à faire coïncider Q avec P, et on marque la corde du ...
Déménageant mes archives, je range mes boîtes de documents dans des caisses dont la largeur est exactement celle des boîtes. Dans une des caisses (ABFG), la seconde boîte (PQRS) s'est coincée ...
On donne un triangle ABC, son cercle circonscrit (O), le cercle (I) exinscrit dans l'angle A, qui coupe (O) en P et Q. La tangente en P à (I) coupe (O) en S. Montrer que la tangente en S à ...
Sur les côtés A1A2 et A2A3 d'un pentagone régulier A1A2A3A4A5, on construit, vers l'extérieur du pentagone, les triangles équilatéraux A1A2B et A2A3C. Que vaut l'angle BA5C ? Problème ...
Construire un triangle ABC connaissant les longueurs (comptées jusqu'à la base BC) de la hauteur, de la bissectrice et de la médiane issues de A. Problème posé en 1954 à Jean Moreau de Saint ...
Soit ABCD un quadrilatère convexe inscriptible. Le point D se projette orthogonalement en P,Q,R sur les côtés BC,CA,AB respectivement. Montrer que PQ=QR si et seulement si les bissectrices ...
Sauriez-vous écrire en moins de 19 lettres, chiffres et signes mathématiques une équation représentant toutes les coniques du plan? Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2006
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Soit ABC un triangle rectangle en A. Une droite variable D passe par C et rencontre le segment AB. B se projette sur D en H. La médiatrice de AH coupe D en P. On demande le lieu de P quand ...
Jules dit à Romain : Sur une feuille, trace un triangle ABC et une figure quelconque F. Prends un calque, pose-le sur la feuille et calques-y la figure F. Fais tourner le calque, dans le sens ...
Au musée d'une ville où a séjourné Pythagore, Pierre Leca-Nonnier est tombé en arrêt devant un pavage antique, dont le motif (ci-dessous) est formé de deux carrés de taille différente. ``A ...
Etant donné un carré ABCD, on construit un triangle équilatéral ABP à l'extérieur du carré et un autre ADQ à l'intérieur du carré. Montrez que PQ passe par C. Problème proposé par M. D. Indjoudjian, ...
Etant donnés trois cercles de même rayon, non tangents entre eux et ayant un point de concours commun, que peut-on dire du rayon du cercle circonscrit au triangle formé par les trois autres ...
On donne un segment BC dans le plan. Déterminer le lieu des points A du plan tels que le triangle ABC ait la propriété suivante : si A' est le pied sur BC de la bissectrice intérieure de l'angle ...
On donne un segment BC dans le plan. Déterminer le lieu des points A du plan tels que le triangle ABC ait la propriété suivante : si A' est le pied sur BC de la bissectrice extérieure de l'angle BAC, ...
Par une nuit d'été, Dunabla contemple le ciel où il voit un millier d'étoiles, comme sur un gigantesque écran plat de cinéma. Dans sa tête, il choisit deux étoiles qu'il relie par une droite, et s'aperçoit ...
Par un point P on mène les deux tangentes PS et PT à une conique C à centre. Le cercle orthoptique de C et le cercle de diamètre ST définissent un faisceau de cercles. Montrer que P est l'un des ...
A chaque entier n je fais correspondre s(n), somme de ses chiffres en écriture décimale. Si N=44444444, que vaut s(s(s(N))) ? (à faire de préférence de tête, et en tout cas sans ordinateur ni calculette) ...
Considérons un grand triangle équilatéral de côté n maillé par des petits triangles équilatéraux de côté 1. Exprimer en fonction de n le nombre de parallélogrammes différents que l'on peut tracer ...
a) On déplace un triangle ABC dans son plan, B et C étant assujettis à rester respectivement sur deux droites données E et F. Sauriez-vous montrer que le lieu de A est une ellipse, et en trouver les ...
Il s'agit de découvrir l'analogue pour les parallélogrammes, dû à Victor Thébault (1882-1960), des propriétés des triangles citées dans les problèmes D10004 et D10128. a) Etant donné un parallélogramme ...
Etant donné un triangle quelconque, démontrer que si l'on construit sur chacun des côtés un triangle équilatéral ayant ce côté pour base, alors les centres de ces trois triangles équilatéraux sont les ...
Développer en puissances de x l'expression En déduire une formule de calcul de . Problème paru en novembre-décembre 2002 dans La Jaune et la Rouge solution
Trouver une équation de la fonction ``en dents de scie'' définie par : (a) f(x)=x pour (b) f(x)=f(1-x)=f(x-2) pour tout x. Problème proposé par Xavier Cognat, paru en août-septembre ...
Reconstituez cette addition a+b+c+d=e, sachant que tous les nombres sont des nombres premiers, et qu'aucun chiffre n'y figure plusieurs fois. Problème des quarts de finale du championnat 2008 des ...
On considère le polynôme Pn(x) défini par (dans cette formule lire + au lieu de | ) Déterminer P1794(2009). Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2009
solution ...
Montrez que la suite d'entiers 2009, 20092009, 200920092009, 2009200920092009,etc... contient une infinité de multiples de 101. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2009
solution ...
Trompés par le ``design'' trop moderne de cette horloge, les gens prennent l'une pour l'autre l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes, et croient l'horloge arrêtée car indiquant une mauvaise ...
Les coefficients du polynôme P(X) sont des nombres entiers inférieurs en valeur absolue à A. Déduisez-en une propriété commune à toutes les racines de ce polynôme. Problème paru dans La Jaune ...
Trouver les 30 premières décimales des nombres (2 + racine(5))50 et (2 + racine(5))51.
Problème proposé par André Cecchini, paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2012
...
Etant donnés deux réels a et b, on constitue l'ensemble A des parties entières [ma] et l'ensemble B des parties entières [nb], m et n entiers naturels. Montrer que A et B forment une partition de ...
Résoudre tan 7x - sin 6x = cos 4x - cot 7x$
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2012
solution
Dans la formule 1+2+3+4+5+6+7+8+(9*10-11)*(12+13) = 2011, les 13 premiers entiers interviennent dans l'ordre. Michel Dorrer propose d'obtenir 2012 avec la même contrainte (entiers ...
Montrer que les trois aiguilles d'une montre avec trotteuse ne forment jamais une étoile parfaite (angles de 120°). Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2011
solution ...
Dans les termes successifs (0,1,1,2,3,5,8,13,...) de la suite de Fibonacci, définie par Fn+1=Fn+ Fn-1, je ne garde que les chiffres des unités. Montrer que la suite obtenue (0,1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,...) ...
Soit M(n) le PPCM des entiers de 1 à $n$. a) Caractériser les valeurs de n pour lesquelles M(n)=M(n-1). b) Pour quelles valeurs de m existe-t-il m entiers consécutifs tels que M(n+1)=M(n+2)=M(n+3)=\ldots ...
``Ce soir, dit Dunabla, je fête mon anniversaire et celui de mon fils. C'est un anniversaire particulier, car en écrivant côte à côte son âge et le mien, on obtient un nombre palindrome. Mais ...
On choisit n+1 entiers distincts entre 1 et 2n. Montrer qu'on peut en trouver deux tels que l'un soit multiple de l'autre. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2006
solution ...
C'est celle de Pierre Leca (pseudonyme d'un camarade) : il calcule de tête le 2006e chiffre du quotient de la division de A (nombre qui s'écrit avec 2718 chiffres 1) par B=12345678987654321. ...
Un message venant d'au-delà du système solaire est interprété par les experts comme suit : ``L'équation x2-45x+322=0 a deux entiers pour racines, trouvez-les.'' Quel message enverrez-vous en ...
Soit y une solution de l'équation différentielle ay''+by'+cy=0, où a,b,c sont des fonctions données de x. Montrer que z=y2 vérifie une équation différentielle Az'''+Bz''+Cz'+Dz=0, A,B,C,D étant ...
L'équation du 5e degré x5+x4+1=0$ est résoluble par radicaux. Sauriez-vous le montrer de façon simple ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2012
solution ...
Si un nombre premier admet une décomposition en somme de deux carrés, cette décomposition est unique. Vérifiez que 104856401513 n'est pas premier en en trouvant une factorisation à partir de ...
Quel est le plus grand entier n strictement supérieur à la somme de parties entières [n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13] ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2011
solution ...
Soit un système de n équations linéaires homogènes à 2n inconnues en nombres entiers. Montrer qu'il a une solution non identiquement nulle, où les inconnues sont majorées en valeur absolue par ...
Montrer que l'équation x4-x3-1=0 a une seule racine de module supérieur à 1. Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2010
solution
Soient k nombres entiers de 4 chiffres, en progression géométrique. Si k est le plus grand possible, quelle est la valeur maximum du plus grand de ces nombres ? Et avec des nombres de 7 chiffres ? ...
De combien de façons peut-on écrire 2010 comme somme de trois carrés ? Ecrire 2010 comme somme de cubes avec le minimum de termes. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2010
...
On sait qu'une certaine fonction f(x) est croissante de x=0 à x=m, puis décroissante de x=m à x=1, mais le paramètre m est inconnu. On veut le déterminer à 0,001 près, mais on ne peut le faire ...
Soit 9 nombres réels positifs tels que leur somme S excède leur produit P. On considère la somme T de leurs puissances cinquièmes. Que pouvez-vous dire du rapport T/P ? Problème paru dans La ...
Il s'agit d'obtenir un résultat donné, en n'utilisant que certains chiffres (les signes mathématiques, eux, ne sont pas rationnés). a) Ecrire 71 avec un chiffre 7 et un chiffre 1, cela va de ...
Dans les premiers membres des neuf égalités ci-dessous, une tornade blanche a effacé les signes mathématiques, n'épargnant que les chiffres. Rétablissez ces égalités. Problème proposé ...
On note [x] la partie entière du nombre réel x. Trouver un nombre réel a tel que, pour tout n entier positif, on ait [a[na]]-[na]=n-1. Problème proposé par Claude Cardot, paru dans La Jaune ...
Etant donné un nombre entier N, de combien de façons peut-on le représenter comme somme d'entiers positifs consécutifs ? Application: N=2007, N=2008. Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
Trouver deux entiers x et y tels que, quel que soit l'entier N, le développement décimal de l'expression zN suivante, poussé jusqu'à la N-ième décimale, présente une séquence continue d'au moins ...
Soit $x$ la racine dans l'intervalle $(0,1)$ de l'équation (où $n$ est un entier donné). Montrer que est rationnel. Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2007
solution ...
Résoudre le système x+y2+z3=3, y+z2+x3=3, z+x2+y3=3, avec x,y,z$ réels positifs. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2007
solution
Avec les nombres pi et e, ``princes de l'analyse mathématique'', je forme la somme pi+e et le produit pi.e. Que pensez-vous des affirmations suivantes ? a) somme et produit sont transcendants, ...
On veut classer 7 boules (de même apparence, mais de poids différents) par poids croissants. On dispose d'une balance trébuchet, permettant de comparer 2 boules à chaque pesée. Quel est le nombre ...
Un parallélépipède rectangle dont la hauteur est égale à la diagonale du rectangle de base est exactement constitué de dés cubiques de 1 cm de côté. La surface du rectangle de base est égale ...
Comme on sait, les Martiens n'ont que 4 doigts à chaque main, et comptent en système octal et non décimal. De ce fait, l'aiguille des heures d'une horloge martienne fait un tour en 8 heures martiennes ...
En Grèce, les plaques d'immatriculation des voitures sont composées de trois lettres majuscules suivies d'un nombre à 4 chiffres. Sous ce système, combien de véhicules pourront-ils au total être ...
a) Les nombres triangulaires sont de la forme tk=k(k+1)/2. 2011 n'est pas un nombre triangulaire ; combien faut-il ajouter de nombres triangulaires, au moins, pour obtenir 2011 ? Trouver les décompositions ...
Montrer qu'un polynôme $P(x)$ n'a pas toutes ses racines réelles : a) s'il a deux coefficients intermédiaires consécutifs nuls (j'appelle coefficients intermédiaires ceux de degré intermédiaire ...
Soit l'hyperbole d'équation 3x2+x=4y2+y. Montrer que x-y est un carré parfait en tout point à coordonnées entières (x,y) de cette hyperbole. Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
On divise 102002 par 1077 +7 (division avec reste). a) Dans le quotient, quel est le chiffre des unités ? b) Dans le quotient, quels sont les chiffres qui apparaissent le plus souvent ? Problème ...
Montrez sans calcul, par une simple figure, que
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2003
solution
On appelle fractions égyptiennes les fractions de numérateur 1.
a/ Trouver des entiers (distincts ou non) a,b,c vérifiant 1/a2+1/b2+1/c2=1/4.
b/ J'appelle ``bon n-uplet'' une collection ...
Soient a, b et c trois entiers naturels quelconques. Montrer que si a3+b3+c3 est multiple de 7, alors abc est multiple de 7.
Problème proposé par Norbert Coulange, paru dans La Jaune et la Rouge ...
On appelle nombre abondant un nombre entier qui est inférieur ou égal à la somme de tous ses diviseurs excepté lui-même. Par exemple 12, inférieur à 1+2+3+4+6=16.
Montrer que tous les multiples ...
a/ Montrer que, dans toute séquence de 14 entiers consécutifs, il y a un entier premier avec 2310.
b/ Trouver les séquences de 21 entiers consécutifs dont aucun terme n'est premier avec 30030. ...
Sur l'annuaire des marées 2013 de mon lieu de vacances, la pleine mer est à la même heure le 14 juillet et le 25 décembre. C'était déjà le cas l'an dernier. Faut-il s'en étonner ?
...
Le polynôme P(x)=ax3+bx2+cx+d est à coefficients positifs. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ses 3 racines aient des parties réelles négatives.
Problème paru dans La ...
La suite de terme général (1+1/n)(n+1/2) est-elle croissante ou décroissante ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2013
solution
