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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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La Gazette
Bienvenue à 2022 Imprimer Envoyer

année 2022

Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour cette nouvelle année 2022.

Espérons avant tout qu'ils sauront échapper au climat de peur et d’anxiété dans lequel  notre pays devenu l'Absurdistan s'est installé depuis maintenant deux ans,comme le décrit fort bien Alexandre Jardin sur son blog :https://artofuss.blog/2021/12/29/alexandre-jardin-deux-ans-en-absurdistan/

Des lecteurs avisés nous ont signalé que la base de données de diophante.fr et notamment les rubriques de géométrie et d'algèbre étaient truffées d'α, de β, de γ, de δ ,... et horresco referens, d'ο qui ont les caractéristiques de virus (informatiques ?) de plus en plus contagieux selon leur ordre dans l'alphabet grec mais,semble-t-il,de moins en moins dangereux. Pour neutraliser cette épidémie virale, un passe informatique, tel un pare-feu disponible dans n’importe quel magasin de matériel informatique, est vivement recommandé mais contrairement à d'autres passes qui nous sont imposés pour diverses raisons, nous  ne le rendrons pas obligatoire.
Toutefois, des jauges seront mises en place  sur recommandation de l'Institut Bidule. Rappelons que  la vocation première de cet Institut est théoriquement de fabriquer des produits qui nous protègent des épidémies virales mais il a préféré se reconvertir dans la conception de modèles mathématiques  aussi savants que foireux dont les conclusions cohérentes et incontestables (sic) entrainent  la fermeture des bars, des cafés,des restaurants de toutes tailles et permettent en même temps la tenue de meetings politiques (mais non culturels!) de 5000 personnes ou plus dès lors que les risques d’explosion des épidémies y sont moindres.
Les consignes sont donc un maximum de  100 lecteurs consultant en même temps le site diophante.fr afin d’éviter l’engorgement des serveurs et  la surcharge du webmaster seul à bord.
Selon les toutes dernières directives gouvernementales,la consultation debout du site diophante.fr avec votre portable préféré est à proscrire et il convient de lui préférer la position assise dans un bon fauteuil derrière le large écran d’un PC 17 pouces made in Taïwan.Le port du masque FFP2 est obligatoire pour les lecteurs et les lectrices à risques de 75 ans et plus.

Les campagnes publicitaires qui font la promotion ou la description d'une marque, d'un produit ou d'un service, les notices d’emploi qui en font la description, comme les éditoriaux de nombreux journaux et d'émissions de radio et de télévision,sans oublier les multiples déclarations d'hommes et de femmes politiques de tous bords et d'experts auto-proclamés, lus ou entendus au cours des semaines passées ,nous ont inspiré le message suivant pour promouvoir diophante.fr et apporter un éclairage sur son avenir.

Que nos lecteurs nous pardonnent d'avoir usé et abusé de "copier-coller" qui aboutissent à un curieux mélange de gloubi-boulga, de langue de bois, de franglish et de novlangue:

 - le diophante.fr de demain est un site qui fait place à nos essentiels. Des essentiels inspirés par les enjeux de demain qui prennent en compte l'Homme et la planète Terre qui l'accueille. Des essentiels qui nous connectent à ce qui est important et nous détachent du superflu,

 - le diophante.fr de demain est un site qui reste non marchand et n'aura pas d'actionnaire à rémunérer. Il sera donc toujours com-pé-ti-tif!

 - le diophante.fr de demain évolue avec son temps, un temps marqué par de nouveaux usages plus durables et grâce à un simple "click and collect" (just do it) reste accessible 7 jours sur 7,y compris les jours fériés, 24 heures sur 24, sauf défaillance technique de l'hébergeur due à un incendie de ses serveurs ou à un piratage du site par des "hackers" venus de l'Est,

 - le diophante.fr de demain est un site qui cherche toujours à créer de la valeur, qu'elle soit mathématique, ludique, voire environnementale et/ou sociétale,
- le diophante.fr de demain est un site qui se veut utile. Utile car il permet le recours à une alternative éco-responsable avec zéro déchet, zéro papier, made in France, upcyclé (resic), bio, vegan, langage et/ou écriture inclusif(ve), tellement utile que le lecteur/la lectrice qui consulte le site en a et/ou en fait nécessairement bon usage,

 - le diophante.fr de demain est auréolé de mystère, mystère des chiffres dans les yeux des plus petits, mystère des conjectures non démontrées dans les cerveaux des plus grands, mystère de contribuer à changer les choses et à changer de paradigme,

 - le diophante.fr de demain vous fait une promesse, celle d'une empreinte carbone réduite à zéro  [bien inférieure à celle que  Google  se flatte d’afficher depuis 2007] avec en prime  une entrée prochaine dans le métaverse, fondements d’une écologie radicale à construire dès aujourd'hui ensemble pour faire face, notamment, aux défis du changement climatique (anthropique cela va de soi) et assurer dans les meilleures conditions la transition énergétique.

 Toujours avec la même langue de bois, pour en revenir aux fondamentaux et aux basiques et sans langue de bois  pour respecter la tradition,nous invitons nos lecteurs à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime 2022 à l'honneur.

A1758 – Mise en bouche cru 2022 [* à **** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
A- Le classique parmi les classiques
A1 Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui fait intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donne un résultat égal à 2022 à partir :
des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre [*]
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
Pour les plus courageux : trouver le plus petit entier >2022 qui ne peut pas s’exprimer de cette manière.[****]
A2 Pierre Leteurtre propose de modifier les règles en autorisant la concaténation des chiffres (par exemple
12 x 3 + 45 = 81) et en adoptant la notation polonaise inverse qui évite les parenthèses. Trouver les formules qui permettent d’obtenir 2022 [**]
B- Le kième parmi d’autres
B1 Je suis le quatrième entier de la suite strictement croissante S₁ des entiers positifs à quatre chiffres dont trois chiffres sont identiques, chacun d’eux étant  multiple d’un nombre premier permutable à trois chiffres. Par exemple 7775 = 25 x 311 appartient à S1. Qui suis-je ? Donner tous les termes  de S1 ?[**]
Nota : un entier premier permutable reste premier quand on effectue une permutation quelconque de ses chiffres.
B2 Je suis le dixième terme de la suite strictement croissante S2 des entiers positifs tels que moi-même et les trois entiers consécutifs venant après moi sont respectivement divisibles par la somme de leurs chiffres. Par exemple l’entier 510 appartient à S₂ avec 510, 511, 512 et 513 respectivement divisibles par 6, 7, 8 et 9.
Qui suis-je ? Donner les huit premiers termes de S2.[*]
B3 J’appartiens à la suite strictement croissante S3 des entiers supérieurs d’une unité au produit de deux nombres premiers consécutifs. Par exemple l’entier 324 fait partie de S3 avec 324 = 17.19 + 1. Cinquante et un  entiers à quatre ou cinq chiffres de cette suite  sont supérieurs à moi. Qui suis-je ? Donner mon rang dans S3[*]

A2871 ‒ La grenouille pythagoricienne [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
La grenouille de la fable part de l’origine (0,0) et fait une succession de bonds . Chaque bond de longueur 13 l’amène en douze points distincts de coordonnées entières du plan.
Q1Lui est-il possible d’atteindre le point A de coordonnées (2022,2022) ? Si oui, quel est le nombre minimum de bonds ?
Q2Lui est-il possible d’atteindre ce même point A en 2022 bonds exactement sans passer deux fois par le même point? Si oui, décrire un parcours possible.

A395 – Le  millésime à pleines dents [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Trouver le plus petit entier qui se termine par 2022, est divisible par 2022 et dont la somme des chiffres est égale à 2022.
Nota : L’entier obtenu  par concaténation de 337 fois le nombre 2022 répond à la question mais ce n’est pas, et de loin, le plus petit.

C254 –  Multiplications codées – version 2022 [* à la main]
Compléter ces deux multiplications :
 c254
Nota : chaque ligne contient au moins un chiffre distinct de 0.

E145 – Le millésime de l’harmonie [** à la main]
Démontrer que la suite de terme général un définie par la relation de récurrence 2/un = 1/un-1 + 1/un-2 avec
u0 = 682, u1= 114917, est convergente et déterminer la limite de un quand n tend vers l’infini.

Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.

Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale  à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031
 
Casse-tête de janvier 2022 Imprimer Envoyer

diophante009Le casse-tête de décembre 2021 enregistré sous la rubrique E215 - Cardinalités autoréférentes   a été résolu parYves Archambault, Daniel Collignon, Maxime Cuenot, Thérèse Eveilleau, Francesco Franzosi et Louis Rogliano,

Le casse-tête de janvier 2022 enregistré sous la rubrique H167-Planarité demande une simple feuille de papier quadrillé,un crayon noir et (éventuellement) une gomme..

Le graphe ci-après contient 24 sommets et de nombreuses arêtes qui s’entrecroisent.
h167





















Est-il possible de le démêler de sorte qu’il devienne planaire, c'est-à-dire que ses arêtes ne se coupent jamais entre elles, avec les sommets situés sur des points de coordonnées entières du plan ?

 

D4901 ‒ Pavages d'hexagones [*** à la main]
Avec n triangles équilatéraux de côté unité,on pave un hexagone pas nécessairement convexe dont les côtés ont pour longueurs pas nécessairement prises dans cet ordre : 1,2,3,4,5,6.
Q₁ Démontrer que l'entier n est toujours impair.
Q₂ Déterminer les valeurs extrêmes de n et représenter les pavages correspondants.
Pour les plus courageux:
Q₃ Déterminer toutes les valeurs possibles de n.
Q₄ Déterminer tous les pavages possibles non superposables deux à deux.
 
Le coin des lecteurs Imprimer Envoyer

Les cind Coin des lecteursproblèmes diffusés le 1er décembre dernier ont trouvé leurs solutions:          .
-A1999. La saga de Méphisto (4ème épisode) proposé par D.Indjoudjian
.A5910. Les carrés monopares proposé par Bernerd Vignes
.D2934. Intersection d'une parabole et d'une droite proposé par Pierre Leteurtre
.D379. Coupe d'un 4-cube proposé par Pierre Jullien
.E144. Trois suites proposé par Pierre Renfer

La rubrique de ce mois contient cinq nouveaux problèmes:
.A2864. De seriebus infinitis reciprocarum numerorum geometricorum proposé par Jean Moreau de Saint Martin
.A2872. Pierres précieuses proposé par Bernrad Vignes
.A4941. Le millésime pour objectif commun proposé par Raymond Bloch
.D1714. Le réseau des exinscrits proposé par Pierre Renfer
.D1715. Silence, on tourne proposé par Pierre Leteurtre
 Un grand merci pour leurs propositions.


 
La collection de Diophante s'est enrichie. Imprimer Envoyer

diophante007 La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 400 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge", revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.
Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.
Derniers problèmes en date :
A10603. Divisions en cascade.
A20477. Positivons!
A20554. Système antique.
A20575. Savoir moyenner.
A20611. Polynôme discriminant.
A30528. Ecarts premiers.
A50264. Cubes bégayants.
D10671. A l'aide d'Alex.
D20637. Point au carré.
D20640. Pentagone bancal.
D30244. Hexaèdres.
E50241. Mise en boîtes.

 

 

 

Problèmes non-résolus

Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le théorème de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse...

Problèmes ouverts de janvier 2022

Le problème -A392-Les suites remarquables a trouvé sa solution
Deux nouveaux problèmes sont introduits dans la rubrique:
-A4940. A la croisée des chemins
-E146. Une suite vraiment peu banale

Allez à la rubrique..
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