Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour cette nouvelle année 2023.

Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime 2023 à l'honneur.

 


A1777 – Le classique du 1er janvier [*]
Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2023  et fait intervenir :
1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites.
 Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites.
 Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 =  –  1 + 5 x 6 + 8 x 9
3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 =   89 + 3 x 4

A1778 ‒ Vive 2023 [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Puce a divisé l’entier naturel p par l’entier naturel q ≤ 80.La séquence des chiffres 2,0,2,3 est apparue dans cet ordre quelque part après la virgule dans la représentation décimale du quotient.
Prouver que Puce a commis une erreur de calcul.

A3901 ‒ Qui suis-je ?  Qui sommes-nous ? [* et ** à la main]
Ex₁ Je suis le plus petit entier à quatre chiffres qui est le reste d’une division de nⁿ par n! (factorielle de n) pour un entier n convenablement choisi. Qui suis-je ?
Ex₂ Dans la suite croissante des nombres premiers écrits en base 4 : 2,3,11,13,23….je suis le 16ième terme de la sous-suite des termes qui ont quatre chiffres.Qui suis-je ?
Ex₃ Nous sommes des entiers qui avons chacun moins de 12 chiffres. Chacun de nous est égal à la fois à un carré parfait à deux unités près et au septuple d’un deuxième carré parfait. De plus la somme de nos chiffres est l’un de nos diviseurs.Qui sommes-nous?

A5931 ‒ Deux irrationnels pour un entier [** à la main]
Proposer deux fonctions a(x) et b(x) non constantes telles que a(2023) et (2023) sont des nombres irrationnels positifs et a(2023)^b(2023) = 2023. Exprimer  a(2023) et b(2023) avec six décimales significatives.

E6932 – Un crible joséphien [*** avec l’aide d’un automate]
On écrit la suite S₀ des entiers naturels 1,2,3,…
1er tour
Partant du nombre 1, on efface un entier sur deux à savoir 2,4,6,….et il reste la suite S₁ :  1,3,5,7,9,11,13…
2ème tour
Toujours en partant du nombre 1, on efface dans S₁ un entier sur trois  5,11,…et il reste la suite S₂ : 1,3,7,9,..
….
kième tour
Toujours en partant du nombre 1, on efface dans S_k-1 un entier sur k + 1 et il reste la suite S_k.
….
ad infinitum et on obtient la suite S.
Prouver que 2023 appartient à S et donner sa position.

 

Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:
- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.

Le casse-tête de décembre 2022 enregistré sous la rubrique D4931-Deux pavages de rectanges a été résolu par Thérèse Eveilleau,Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon, Raymond Bloch.

Le casse-tête de décembre 2022 enregistré sous la rubrique E6931 requiert tout simplement une grosse boite d'allumettes avec laquelle il convient de s'armer de beaucoup de patience.

On agence n allumettes de même longueur de manière à obtenir un graphe d’un seul tenant dessiné sur un plan, dont toutes les arêtes sont des segments de droite qui peuvent se rencontrer en des points distincts de leurs extrémités.
On désigne par s(n) le nombre de sommets de ce graphe.
Par exemple, voici trois graphes-allumettes obtenus avec 5 allumettes de même longueur.

Dans le premier graphe on a s(5) = 6, dans le deuxième s(5) = 5 et dans le troisième s(5) = 4
Pour tout entier n ≥ 1, il existe au moins un graphe qui rend maximum le rapport n/s(n). On désigne par r(n) la valeur maximale de ce rapport.
Par exemple pour n = 5, r(5) = 5/4 qui correspond au losange obtenu par adjonction de deux triangles équilatéraux.
Déterminer le plus petit entier n tel que :
  a) r(n) ≥  3/2
  b) r(n) ≥ 2
Pour les plus courageux : existe-t-il un entier n tel que r(n) = 3 ?

Les cinq problèmes diffusés le 1er décembre ont trouvé leurs solutions                               .    
  .A3900. Une moyenne quadratique chez les entiers proposé par Bernard Vignes
  .D2943. Extension du domaine du quadrilatère inscriptible proposé par P. Leteurtre
  .D385. La table de Papy Jules proposé par Pierre Jullien
  .F172. Des nombres binaires en mode croisé proposé par K. Sengupta
  .G1930. Echiquier scié proposé par Jean Moreau de Saint Martin

La rubrique de ce mois contient six nouveaux problèmes:
 .A2886. Parité constante proposé par Bernard Vignes
 .A4950. Un peu d'aire proposé par Raymond Bloch
 .A4951. Fermat au secours proposé par Kaustuv Sengupta
 .D1740. Quatre points en balade proposé par Pierre Leteurtre
 .D2944. Polygones réguliers et coordonnées entières proposé par Pierre Renfer
 .D676. Deux cercles orthogonaux proposé par Olivier Eveilleau

                                                    Un grand merci pour leurs propositions

La collection de diophante.fr s'est enrichie de plus de 500 problèmes publiés depuis 2002 par Jean Moreau de Saint Martin (mailto: Cette adresse email est protégée contre les robots des spammeurs, vous devez activer Javascript pour la voir. ) dans "La Jaune et la Rouge", revue de l'Association des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique.
Classés selon les thèmes usités par Diophante, ces problèmes sont reconnaissables par leur code à une lettre et 5 chiffres.
Derniers problèmes en date :
A10471. Solution unique.
A10503. Double dérivation.
A20550. Facteurs et progression.
A20610. Progression rationnelle.
A20698. La série de Sophie.
A20705. Où va la perle ?
A50425. Carrés à rallonge.
A50514. Puissances anglaises.
D10708. Avec trois cercles.
G20700. La promenade des demoiselles.
J10701. Dames dominatrices.