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Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour cette nouvelle année 2026.
Pour respecter la tradition, nous les invitons à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime 2026 à l'honneur.
A1643 – Le classique du 1er janvier 2026 [*]
Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2024 et fait intervenir :
1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = – 1 + 5 x 6 + 8 x 9
3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = 3 x 4 + 89
A1644 - Sommes sages de l’année et produits extrêmes [** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Q1 Ecrire 2026 comme la somme d'entiers pas nécessairement distincts dont le produit est maximum.
Q2 Ecrire 2026 comme la somme de carrés parfaits pas nécessairement distincts strictement supérieurs à 1 dont le produit est minimum.
Q3 Ecrire 2026 comme la somme de cubes parfaits pas nécessairement distincts strictement supérieurs à 1 dont le produit est minimum.
A5952 – Le grand buffet des puissances [*** à la main]
Déterminer le nombre de couples d’entiers strictement positifs (a,b) tels que ab = 20!26! où x ! désigne la factorielle de l’entier x
E161 – A la poursuite du 2026 perdu [** à la main et avec l’aide d’un tableur ou d’un automate]
Problème proposé par Raymond Bloch
On commence l'écriture sur une même ligne d'une suite S de quatre chiffres. Tous les chiffres suivants sont obtenus avec le chiffre des unités de la somme des quatre chiffres précédents,
Q1 Avec S qui contient au moins un chiffe impair, peut-on obtenir 2,0,2,6 au bout d'un nombre fini d'étapes?
Q2 Si S = 2,0,2,6, peut-on retrouver 2,0,2,6 au bout d'un nombre fini d'étapes?
Q3 Existe-t-il une suite S constituée de quatre chiffres tous pairs > 0 qui ne permet pas de retrouver 2,0,2,6? Si oui donner un exemple d'une telle suite.
E5937 - L’année aux trois vendredis 13 [** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q1 Montrer qu’une année quelconque comporte au moins un vendredi 13 et pas plus de trois.
Q2 Vérifier que l’année 2026 comporte trois vendredis 13. Quelle sera la prochaine année aussi favorable au chiffre d’affaires de la Française des Jeux
J179 - Duel de spirales sur damier [** Ã la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Quand les nombres tournent… et changent d’allure
On considère deux spirales construites sur le plan muni d’un repère orthonormé (O,x,y)
Dans les deux cas, on part de l’origine P1=(0,0) et on tourne toujours dans le même sens :
droite → haut → gauche → bas → …
Spirale n°1 — la spirale classique à pas unité
À chaque étape, on avance d’un segment de longueur 1.
On numérote les points dans l’ordre :1:(0,0), 2:(1,0), 3:(1,1), 4:(0,1), 5:(−1,1),…
On opère dans un damier −200 ≤ x ≤ 200,−200 ≤ y ≤ 200.
Q11 Quelles sont les coordonnées du point 2026.
Q12 Pour tout point n de coordonnées (x,y), on pose p= 100*abs(x)+abs(y) avec abs(a) = valeur absolue de a.
Existe-t-il des points du damier tels que n = p ?
Spirale n°2 — la spirale à pas croissants
On garde les mêmes directions, mais la longueur des segments est maintenant 1,2,3,4,5,… Le k-ième déplacement a donc longueur k
Q21 Quelles sont les coordonnées du point 2026.
Q22 Pour tout point n de coordonnées (x,y), on pose q = abs(x)+abs(y) avec abs(a) = valeur absolue de a.
Recenser tous les points n ≤ 2026 tels que n = q. |
