Dunabla marche dans un champ labouré. Quand il marche parallèlement aux sillons, il avance à 20 mètres par minute ; dès qu'il va dans une direction différente, sa vitesse tombe à 10 mètres ...
Vous partez de l'extrémité O d'un segment OI de longueur 1, et vous devez vous rendre en un point X, à moins d'un millionième près, par une suite de sauts dont chacun, à partir du point P déjà atteint, ...
On donne un ensemble S de segments, au nombre de s. On considère les triangles, au nombre de t, dont les 3 côtés sont éléments de S. Montrer que t2/s3 est borné supérieurement, et déterminer ...
J'ai écrit tous les nombres entiers de 1 à N, et ce faisant, j'ai écrit N+2015 chiffres impairs. Que vaut N ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2015
solution ...
Soit E l'ensemble des nombres entiers de 10 chiffres tous différents. Quelle est la probabilité qu'un nombre de E soit multiple de 11 ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de ...
Un tétraèdre OABC trirectangle en O a pour longueur de ses arêtes issues de O : a,b,c. Si la longueur totale L des six arêtes est donnée, pour quelles longueurs de ces arêtes le volume V du tétraèdre ...
Dans un triangle sphérique, la hauteur menée d'un sommet est l'arc de grand cercle coupant le côté opposé à angle droit ; la médiane est l'arc de grand cercle joignant un sommet au milieu du côté opposé. ...
a) Montrer qu'étant donnée une figure plane (finie), il est possible de la couper en quatre parties de même aire par deux droites perpendiculaires.
b) Travaux pratiques : déterminer ces droites ...
Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 4 il existe un polygone de n côtés dont les longueurs ne sont pas toutes égales tel que la somme des distances de tout point intérieur à ...
En prenant trois à trois les sommets d'un quadrilatère inscriptible, on obtient 4 triangles. Montrer que les centres des cercles d'Euler de ces triangles forment un quadrilatère semblable au ...
Une famille H d'hyperboles ont en commun leur excentricité e, un foyer F et un point G de la directrice correspondant à F.
Déterminer l'enveloppe de ces courbes, les lieux de leurs centres ...
On donne quatre points dans un plan. Combien d'hyperboles équilatères passent par ces 4 points?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2015
solution ...
Quel est le plus grand carré qui peut être inscrit dans un pentagone régulier de côté 1 ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2016
solution
Dans un polygone régulier convexe P1P2...P13, on note di=|P1Pi+1| pour i=1 à 6. Les 13 diagonales de longueur d6 entourent un petit tridécagone régulier convexe de côté s.
On demande d'exprimer s ...
On donne, dans un plan, une courbe (C) et un point O. A chaque point M de (C) on fait correspondre sur une droite D, passant par M mais de direction fixe, deux points M1 et M2 tels que OM=MM1=MM2.
Montrer ...
Dans ce polygone régulier A1A2... An, on a la relation entre diagonales 1/A1A4= 1/A1A7+ 1/A1A10. Quel est n ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2017
...
ABCDE est un pentagone régulier de côté 1, AB et CD se coupent en F ; la parallèle à AB menée par D coupe en G la perpendiculaire à CD menée par F. Déterminer la longueur DG, de préférence sans trigonométrie. ...
Deux diamètres perpendiculaires d'une ellipse sont les diagonales d'un losange. Quelle position de ces diamètres donne au losange l'aire minimale ?
Problème proposé par Les Reid, paru dans La Jaune ...
On trace la tangente commune à une ellipse donnée et à un cercle de même centre. Quand le rayon du cercle varie, quelle est la plus grande distance entre les deux points de contact ?
...
Soit le pentagone régulier étoilé ABCDE. Les côtés BC et DE se coupent en A' ; les points B',C',D',E' sont définis de manière analogue. Comparer l'aire de l'étoile (contour AB'CD'EA'BC'DE') à celle ...
Dans le triangle équilatéral ABC, les côtés BC,CA,AB ont pour milieux respectifs D,E,F. La demi-droite EF coupe en G le cercle circonscrit au triangle. On construit le pentagone régulier FGHIJ ...
Le rectangle ABCD est circonscrit au triangle CEF rectangle en E (E sur AB, F sur AD).
Les triangles AEF, BCE, CDF ont leurs côtés mesurés par des nombres entiers.
Quelles sont les valeurs possibles ...
Caractériser une cubique du plan qui est transformée en elle-même par une inversion.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2019
Solution géométrique de Bernard Legrand ...
On considère une courbe fermée convexe C, une corde variable AB de longueur constante a+b, et le point M de cette corde tel que AM=a, MB=b.
Quelle est l'aire intérieure à la courbe lieu de M ?
...
Dans ce triangle rectangle, je peux inscrire
a/ un carré de côté d, dont un angle droit est superposé à celui du triangle, le sommet opposé du carré étant sur l'hypoténuse ;
b/ un carré de côté ...
Cet octogone, convexe et inscrit dans un cercle, a quatre côtés consécutifs de longueur a et quatre côtés consécutifs de longueur b (a et b entiers).
-- Montrer que son aire S est de la forme A+B.Racine(2), ...
Ce rectangle est divisé en 4 rectangles et un carré, tous les côtés étant mesurés par des nombres entiers supérieurs à 1 ; deux des rectangles bordant le carré central ont respectivement 133 et 143 ...
Deux droites mobiles Δ et Δ' se coupent en un point fixe A et forment un angle constant α ; elles coupent deux droites fixes D et D', formant un angle β, respectivement aux points M et M'. ...
Problème 1 On donne dans le plan une droite D et deux points extérieurs F et O. On considère les coniques C de foyer F, dont la directrice associée passe par O, et tangentes à D. Trouver l'enveloppe ...
ABCD est un carré ; si b,c,d sont les distances respectives d'un point P du plan aux sommets B,C,D, quelle est la distance a=PA ? Quel peut être le côté e du carré ?
Problème paru dans La Jaune ...
ABCDE est un pentagone où les angles BAC= CAD= DAE et ABC= ACD= ADE.
Les diagonales BD et CE se coupent en P.
Montrez que la droite AP coupe CD en son milieu.
Problème paru dans La ...
Soit ABCD un parallélogramme. Une sécante issue de A coupe le segment BC en X et la demi-droite DC en Y. K et L sont les centres des cercles exinscrits dans les angles A des triangles ABX et ADY. Montrer ...
Soit dans un plan une conique C, et sur C une corde variable MN vue du foyer F sous un angle constant. On demande de construire l'enveloppe de MN.
Problème proposé ...
Remi Planche m'écrit :
``Dans un triangle isocèle, la symétrie entraîne les égalités des segments internes au triangle de deux hauteurs, deux médianes, deux bissectrices, deux médiatrices. ...
A,B,C étant les angles d'un triangle, quelles sont les limites inférieure et supérieure de la somme S=sin(3A) +sin(3B) + sin(3C) ?
On s'abstiendra de recourir au concept de dérivée.
...
Soit un point A intérieur à un cercle de centre O. Deux demi-droites variables Am et An, faisant entre elles un angle constant, coupent le cercle en M et N. Quelles positions de ces demi-droites ...
Dans un désert désespérément plat, Dunabla parcourt une route absolument droite ; à un moment il aperçoit le sommet d'un piton volcanique à une pente 6,5% au-dessus de l'horizontale ; 25 km ...
Soit un triangle ABC isocèle rectangle en C. Sur les côtés CA et CB on prend D et E tels que CD=CE. Les perpendiculaires abaissées respectivement de D et C sur AE coupent l'hypoténuse AB en ...
Le polynôme x7 a pour valeurs positives les puissances septièmes des entiers positifs quand la variable est un entier naturel. Pourriez-vous trouver un polynôme du cinquième degré seulement ...
Soient deux entiers consécutifs tels que la différence de leurs cubes est un carré parfait. Montrer que la racine de ce carré est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
Problème ...
Deux entiers sont assortis quand, à la fois, la différence de leurs cubes est un carré parfait, et la différence de leurs carrés est un cube. Sauriez-vous former toutes les paires ...
Pour son départ en retraite, Dunabla a reçu des cadeaux ; chacun est emballé dans un paquet en forme de parallélépipède rectangle, dont les trois dimensions sont un nombre entier de décimètres, ...
Une turbine Pelton est constituée par une tuyère alimentée par une conduite forcée, et dirigeant son jet tangentiellement à une roue à augets. Les augets ont une forme en double demi-cylindre ...
On considère les produits infinis convergents P et Q définis ci-dessous. Etablir une formule simple pour la valeur de chacun d'eux et constater que 2Q=P2.
Problème proposé par Dickran Indjoudjian, ...
Soit n un entier strictement plus grand que 1, et d1, d2, ..., dk ses diviseurs rangés en ordre strictement croissant, de d1=1 à dk=n.
On pose D=d1d2+d2d3+...+dk-1dk.
Montrer que D est ...
Résoudre x4-14x3+66x2-115x+66,25=0.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2016
solution
L'algorithme d'Euclide inclut une suite de divisions pour déterminer le PGCD de deux entiers. Donnez un majorant du nombre de ces divisions quand les entiers en cause ne dépassent pas c chiffres.
Problème ...
Soient a,b,c trois entiers premiers entre eux dans leur ensemble, vérifiant 1/a+1/b=1/c.
Montrer que chacun des nombres a+b, a-c, b-c est un carré parfait.
Problème paru dans La Jaune et ...
Un satellite (sphère homogène de rayon R, de masse m) gravite autour d'un astre massif (sphère homogène de rayon R', de masse M), suivant une orbite circulaire de rayon D, en tournant toujours la même ...
Calculer la somme des fractions 1/(m2n2) pour tous les couples (m,n) d'entiers positifs de PGCD 1.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2017
A20096.pdf ...
Le ``problème de Syracuse'' étudie les suites d'entiers qui font suivre le terme x par 3x+1 si x est impair, par x/2 si x est pair.
a/ Quels sont les entiers x qui ont deux antécédents ?
b/ Dans ...
Si l'on désigne par [x] le plus grand entier non supérieur à $x$, montrer que :
Problème proposé par D. Indjoudjian, paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2017
solution ...
Soient a,b,c des entiers dont la somme est paire.
Montrer que a3+b3+c3-3abc n'est pas un nombre premier.
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre ...
On cherche trois nombres tels que le premier, ajouté à 73, fasse le double des deux autres ; le second, ajouté à 73, fasse le triple des deux autres ; le troisième enfin, avec 73, fasse le ...
On forme une suite de nombres premiers à partir des deux premiers termes p1,p2 et de la règle : pour n= au moins 3, pn est le plus grand diviseur premier de la somme pn-1+pn-2+1794. Montrer ...
Limite pour n infini de la suite xn définie par x0=11/2, x1=61/11, xn+1=111-1130/xn+3000/(xnxn-1).
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre et novembre 2015
solution ...
Elle est à trouver parmi : 4, 5, 7 de pique ; 5, 6 de coeur ; 4, 8 de carreau ; 7, 8, 9 de trèfle.
On a dit à Jules la couleur (pique, coeur, carreau ou trèfle) et à Romain la valeur (entre 4 et 9). ...
Dans ces fiches individuelles sont répertoriées 6 caractéristiques de chacun. Une même caractéristique ne prend la même valeur que dans 5 fiches au plus. Mais dans 4 fiches choisies au hasard ...
Sur une page A4 (21,02 x 29,73 cm), on a peint en bleu, au pochoir, 150 carrés de 1 x 1 cm (dont les orientations peuvent être variées et qui ne sont pas nécessairement disjoints). Reste-t-il la place ...
Des puces P1,P2,...,Pn occupent des abscisses entières sur l'axe des x (plusieurs puces peuvent s'accumuler à la même abscisse). Chacune à leur tour (P1 puis P2 puis ... puis Pn, puis à nouveau P1, ...
Voici une suite d'égalités : 0,62+0,8=1 ;
0,282+0,962=1 ; 0,9362+0,3522=1 ; 0,84322+0,53762=1 . Trouvez une cinquième égalité qui prolonge logiquement cette suite
...
Trouver un entier naturel n inférieur à 2011 divisible par trois entiers distincts dont la conversion dans trois bases entières a,b et c distinctes donne respectivement des nombres uniformes à 3, ...
On s’intéresse aux entiers naturels qui s’expriment de p manières différentes comme somme de q carrés positifs. Pour une valeur de q, l’entier est appelé avalent ou monovalent ou polyvalent de ...
Problème proposé par Michel Lafond Le plus grand nombre premier connu actuellement (mars 2013) est 257885161 - 1. Déterminer ses 10 premiers et ses 10 derniers chiffres (en base 10).
Jean ...
Trouver : Q1 : toutes les triplettes de nombres premiers x, y et z qui satisfont l’équation xy + yx = z. Q2 : toutes les triplettes d’entiers positifs ou nuls x,y et z tels que 3x + 4y = 5z .
...
Dans tout ensemble A de k entiers a1,a2,..ai,...ak strictement positifs deux à deux distincts dont la somme est s, on dénombre tous les couples (i,j), i < j, tels que ai + aj divise s. Avec k prenant ...
A tout entier n de la forme n = paqbrc.. avec p,q,r,..facteurs premiers et a,b,c,...exposants > 0, on associe l’entier f(n) défini par f(n) = apbqcr.. expression dans laquelle les facteurs ...
Problème proposé par Michel Lafond Q₁ Trouver les 4 entiers naturels a,b,c et d tels que la somme de leurs inverses est comprise entre 0.999 et 1, bornes exclues. Q₂ Trouver 6 entiers naturels a,b,c,d,e ...
Pour aller voir la fosse aux hippopotames, Zig et Puce accompagnés de leur pingouin Alfred doivent d’abord franchir un mur. Pour ce faire,ils installent une première échelle qui touche le sol au point ...
On désigne par p(n) le produit des diviseurs de l’entier naturel n, y compris n lui-même. Q1 : Soient deux entiers naturels positifs a et b tels que p(a) = p(b). Peut-on avoir a > b ? Q2 : Trouver ...
En cette année 2012, mon horloge franc-comtoise a des rouages bien fatigués et elle retarde désormais de plusieurs minutes par heure. Je ne sais pas combien exactement mais je suis certain que le retard ...
Problème proposé par Patrick Gordon Zig dispose d'un pluviomètre en forme de tronc de pyramide droite dont les bases sont carrées et dont les treize dimensions (les 12 arêtes et la hauteur) sont des ...
Un nombre entier ayant n chiffres dans le système décimal est dit compressible si on peut l’écrire à l’aide des 4 opérations usuelles, de l’exponentiation, des 10 chiffres mais en utilisant ...
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres ...
Problème proposé par Michel Lafond Trouver un ensemble E d’entiers naturels distincts tous impairs, tel que chaque élément de E divise la somme de tous les autres.
Maurice Bauval,Vincent Derouet,Jean ...
Des entiers naturels positifs sont assignés aux 26 lettres de l’alphabet a,b,c,d,...,x,y,z. A partir de ces nombres écrits sur une même ligne et pris dans l'ordre des lettres de l'alphabet, on construit ...
Zig dit à Puce d’un ton affirmatif: - il y a un seul polynôme P(x) non constant à coefficients entiers non négatifs tel que P(P(3)) = 2012. - un polynôme Q(x) non constant à coefficients entiers non ...
Pour les valeurs des nombres premiers p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7, p₅ = 11 et p₆ = 13, on dit, par convention, que les nombres réels de la forme rootp_i}, avec a et b entiers relatifs non nuls et ...
Q1 : Trouver tous les nombres premiers p,q et r avec p ≤ q ≤ r tels que les six entiers pq + r, qr + p, rp + q, pq + r2, qr + p2 et rp + q2 sont aussi des nombres premiers. Q2 : Trouver ...
Les entiers naturels x et y obéissent à la relation 2010x2 + x = 2011y2 + y. En déduire que x - y est un carré parfait p2 dont on donnera les trois plus petites valeurs.
Jean Moreau de Saint Martin,Jean ...
Démontrer qu’il existe un entier positif N tel que pour tout entier n qui lui est strictement supérieur, il existe une sous-chaîne contigüe de la représentation décimale de n qui est divisible par ...
Ce gobe-mouches goulu est réglé comme une horloge.Dès son réveil, à six heures précises du matin, après un premier temps de pause de cinq secondes, il attrape sa première mouche et son temps de pause ...
Q1 : Démontrer qu’il existe un seul chiffre impair x distinct de 5 tel que l’entier N = 38xxx....xxx obtenu par concaténation de A = 38 et d’un nombre quelconque de chiffres x est toujours composé. ...
En l’absence de calculatrice, de tableur et de table de logarithmes déterminer les plus petits exposants entiers p et q de m = 4pet n = 6q tels que m et n commencent par le chiffre par 9.
Bernard ...
Problème proposé par Dominique Roux Q1 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs puisse être un carré parfait? Q2 : Combien existe-t-il d'entiers ...
Cet entier an est le plus petit entier qui donne pour restes les entiers 1,2,...,n-1 quand il est divisé respectivement par 2,3,....,n. Ses deux successeurs an+1 et an+2 définis de la même manière ...
Par convention, un entier naturel N est dit «plus-que-parfait» ou encore «multiparfait» d’ordre k, si la somme de ses diviseurs y compris 1 et lui-même est un multiple entier k > 1 de N. Pour k ...
Problème proposé par Dominique Roux Q1 : Combien existe-t-il de suites de 49 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait? Q2 : Peut-on trouver 61 entiers consécutifs ...
Trouver une suite strictement croissante de 2012 nombres entiers positifs tels que les termes de rang impair constituent une progression arithmétique et ceux de rang pair une progression géométrique. ...
N est un entier naturel multiple de 4. On recense tous les entiers qui lui sont inférieurs et n’ont pas de diviseur commun avec lui autre que 1.Démontrer que le nombre n de ces entiers est pair (n ...
Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes : P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, ...
Problème proposé par Michel Lafond Un entier naturel positif n est appelé « accommodant » s’il existe au moins un entier N dont la somme des chiffres est S tel que N = nS. A contrario le nombre est ...
En l'honneur de cette année bissextile,nous commençons par une première énigme qui porte sur l'une des particularités de son calendrier. En février 2012, il y aura cinq mercredis. Quelle est la première ...
Obtenez 2016 comme somme d'un nombre minimal, selon le cas,
-- de carrés,
-- de cubes,
-- de nombres triangulaires tn=n(n+1)/2,
-- de nombres pentagonaux pn=n(3n-1)/2,
-- de nombres hexagonaux ...
Q1 : Les entiers strictement positifs p et q sont tels que les nombres 223p + 224q et 224p – 223q sont tous les deux des carrés parfaits strictement positifs. Trouver la valeur minimale du plus petit ...
D'après un problème proposé par Patrick Gordon Dans un repère orthonormé (x’0x,y’Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommet A de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice ...
Q1 : Démontrer que la somme des entiers naturels consécutifs de 1 à 2011 divise la somme des puissances d’ordre 2011 de ces mêmes entiers. Q2 : Démontrer que pour k entier impair positif et pout tout ...
Par convention, on dit qu’une suite de nombres entiers positifs est équipondérée si tous les entiers qui la composent ont la même somme de leurs chiffres.Par exemple la suite 7,16,52,223,1411 dans ...
Ce polynome P(x) a les caractéristiques suivantes : 1)tous les coefficients sont des entiers 2)le terme constant est égal à 1000, 3)la somme des coefficients des termes ayant des exposants pairs est ...
Problème proposé par Michel Lafond Mes voisins Roméo et Juliette forment un couple charmant. L’âge de Juliette est égal à P (150) où P (x) est un polynôme à coefficients entiers tel que P (10) = – ...
