A tout entier n de la forme n = p^aq^br^c..  avec p,q,r,..facteurs premiers et a,b,c,...exposants > 0, on associe l’entier f(n) défini par f(n) = a^pb^qc^r..   expression dans laquelle les facteurs premiers et les exposants de n opèrent un chassé-croisé. Exemple n = 8 = 2³, d’où f(n) = 3² = 9.
On définit par récurrence fⁱ(n)  tel que fⁱ(n) = f(f^i-1(n)) avec f¹(n) = f(n). Par exemple n = 24 = 2³.3¹. On a f(24) = 3².1³ = 3² = 9, f²(24) = f(9) = 2³ = 8, f³(24) = f(f²(24)) = f(8) = 3² = 9,etc...
Q₁ Trouver un entier n tel que f(n) = 2012²⁰¹².
Q₂ Trouver un entier n tel que la séquence des fⁱ(n) pour i = 1,2,... comporte au moins 15 termes tous distincts.