On considère trois triangles isocèles de même base BC et de sommets A1,A2 et A3 situés du même côté par rapport à BC. Dans le triangle A1BC, on trace le point D sur le côté A1B tel que l’angle BCD ...
Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La ...
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommet B de l’angle droit. Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles incsrits aux triangles ABC,ABH ...
Soit un triangle ABC de centre de gravité G et un point M courant du cercle (Γ) circonscrit à ABC.Les points D,E et F sont les centres de gravité des triangles MBC, MCA et MAB.Le cercle (γ) circonscrit ...
Problème proposé par Michel Lafond d'après André Deledicq On part d'un cube et on le tronque (figure 1) par un coup de scie le long du rectangle ABCD (où AB est une médiane). On obtient la figure ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Etant donné deux points A et B et une droite (Δ) qui coupe la droite AB en un point C, discuter, selon la position de C sur la droite AB, l'existence et le nombre ...
Soit un point M sur l'arc DE du cercle circonscrit à un pentagone régulier ABCDE
On dispose des distances arrondies au mètre le plus proche* des quatre cordes : MA = 1830, MB = 2377, ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau Soit ABC un triangle équilatéral inscrit dans un cercle (Γ). Les points P et Q partagent le côté BC en trois segments égaux BP,PQ et QC. L'arc de cercle de centre ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne dans le plan un cercle fixe (Γ) et deux points fixes A et B par lesquels passe un cercle variable (γ). Déterminer le lieu du centre d'homothétie qui permet ...
Problème proposé par Patrick Gordon Je me trouve à la place Abel, au sommet A d'un triangle ABC formé par 3 rues qui joignent deux à deux les places Bourbaki et Cauchy. Je dois aller en un point M ...
Le triangle ABC est partagé par un segment AD. Déterminer D sur le côté BC pour que les cercles inscrits aux triangles ABD et ACD touchent AD au même point.
Problème proposé par Leslie ...
312.
D354. Le cube
(D. Géometrie/D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres)
Problème proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm. Quel est le côté ...
Problème proposé par Dominique Roux Etant donnés deux points A et C, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD). ...
Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle BAC coupe le côté BC au point A1 et l'arc BC qui ne contient pas A au point M. La droite perpendiculaire ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soient : ABC un triangle A-rectangle tel que CBA = 20°, (O) le cercle circonscrit à ABC, F le point de [AB] tel que ACF = 30°, (U) le cercle tangent à (O) ...
Soient un triangle ABC, M le milieu du côté BC et D le point d'intersection de la bissectrice issue de A avec le côté BC. Le cercle circonscrit au triangle ADM coupe les côtés AB et AC aux points ...
Pour s'endormir en douceur, Georges imagine et résout de tête des petites questions de géométrie telles que les suivantes.
Dans un triangle ABC, que représentent :
-- les 3 médiatrices ...
Zig prétend à Puce qu'il a réussi à couper en deux morceaux un polyèdre convexe ayant seulement des faces triangulaires et hexagonales et qu'avec ces morceaux il a reconstitué un cube. Puce l'accuse ...
Trois amuse-tête proposés par Pierre Leteurtre à résoudre en un quart d'heure chrono en main.
Amuse-tête n°1 On donne 2 cercles sécants (Γ) et (Γ'), et deux points de (Γ), I fixe et J variable ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient un triangle ABC, 3 points quelconques D sur BC, E sur CA et F sur AB. AD coupe BE en N et CF en M, CF coupe BE en L. Montrer que les cercles circonscrits ...
Soit un triangle acutangle ABC. Les points D,E et F sont respectivement les pieds des hauteurs issues des sommets A,B et C. Une droite passant par D parallèle à EF rencontre AC au point Q et la droite ...
Problème proposé par Pierre Jullien Papy Jules avait six planches longues de 420 cm et larges de 15 cm (joints compris). Il vient de les utiliser pour fabriquer un plateau de table octogonale pour ...
Un triangle a deux côtés de longueur 10 et 26. Quelle longueur doit avoir le troisième côté pour que le plus petit angle du triangle soit le plus grand possible ?
Problème paru dans ...
Problème proposé par Patrick Gordon On considère la figure formée par k cercles de même rayon r, de centres A, B, C, D… alignés tels que : AB = BC = CD … = e. Quel est l'aire minimale d'une ellipse ...
Sur un échiquier $8\times 8$, on place n dominos couvrant chacun deux cases, de façon qu'on ne puisse plus placer de dominos sur les cases non couvertes. Quelle est la valeur minimum de n ? ...
Problème proposé par Michel Lafond Une balle de golf a des trous qui ont exactement 5 ou 6 voisins. Dénombrer le nombre de trous qui ont exactement 5 voisins.
Daniel Collignon,Jean Moreau ...
Dans un triangle ABC, on trace successivement l'orthocentre (H), le centre du cercle circonscrit (O), le point M à l'intérieur du segment OH tel que OM=2OH/3, le centre du cercle inscrit (I), le centre ...
Zig écrit un entier ≥ 0 sur chacune des faces d'un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces est égale à 39. Démontrer qu'il y a deux faces de l'icosaèdre qui ...
Partant d'un carré de côté 2, on commence par l'amputer d'un demi-disque ayant un côté pour diamètre. Quel est le plus grand cercle qu'on peut inscrire dans la partie restante du carré ?
Problème ...
Q1Partager un triangle en quatre polygones convexes disjoints,à savoir un hexagone, un pentagone, un quadrilatère et un triangle. Q2 Partager un triangle en huit polygones convexes disjoints,à savoir ...
Problème proposé par David Draï Le quadrilatère ABCD est tel que le milieu du côté BC est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois droites [AB], [CD] et [DA].Exprimer la longueur du côté BC en ...
Déterminer le minimum de morceaux qui permet de partager de façon simple(1) trois tourtes farcies circulaires de 18 cm, 24 cm et 30 cm de rayon, équitablement entre quatre convives. (1) Nota ...
Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune ...
La première est la distance du sommet A au côté BC du triangle ABC, les deux autres sont les distances de A aux tangentes en B et en C au cercle circonscrit. Montrer que la première est la moyenne géométrique ...
Montrer qu’il existe un ensemble de points dans l’espace à trois dimensions tels que les carrés de toutes distances qui séparent les points pris deux à deux permettent d’obtenir exclusivement au moins ...
Problème proposé par Michel Lafond On partage un Brie en deux parts par une coupe plane. [Voir Figure ci-après] Le plan de coupe est (ABC) où (AB) est un diamètre du disque supérieur et C le point ...
A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité. A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C). A l’étape n°3, à l’intérieur ...
On considère un pentagone convexe ABCDE avec les égalités d’angles BCD = ADE d’une part et BDC = AED d’autre part. Le cercle circonscrit au triangle CDE rencontre les droites ...
On trace une corde BC dans un cercle (Γ) de centre O. A est un point courant de (Γ). Quand A parcourt le cercle (Γ) : 1- déterminer respectivement les lieux des symétriques du centre de gravité G du ...
Problème proposé par Raymond Bloch Est-il possible de choisir 24 points dans l’espace – jamais trois points n’étant alignés – et de choisir 2021 plans de sorte que chaque plan passe par au moins trois ...
Q1 Tous les points du plan sont coloriés soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur. Q2 Les sommets d’un ...
Quel est le nombre minimum de carrés (à côtés entiers, pas nécessairement différents) pour paver un rectangle 11x13 sans lacune ni recouvrement?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A₁,B₁et C₁ et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A₂.Soient A’ ,B’ et C’ les milieux des côtés ...
Problème proposé par Dominique Souder J’ai eu la chance de retrouver une vieille cave à liqueurs, avec tous les verres à l’intérieur. Malheureusement la façade a un peu souffert, à l’intérieur ...
Problème proposé par Bernard Vignes On trace 2021 points dans le plan de sorte que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont jamais cocycliques. ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit ABC un triangle de côtés AB = 13, BC = 14 et CA = 15. Q₁ Déterminer les tangentes des angles de ce triangle. Q₂ Construire, à la règle et ...
Problème proposé par Pierre Jullien Dans le rectangle ABCD, avec seulement une équerre à trois bords rectilignes, j'ai installé le triangle EFG directement semblable au triangle BCD. Saurez-vous ...
Que vaut l'expression l4+m4+n4 ?
Problème proposé par Olivier Baudel,, paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2021
solution
Dans un triangle ABC, l’angle en B est compris entre 30° et 60° (bornes exclues) et il est inférieur à l’angle en C. La médiatrice de BC coupe le cercle de centre A et de rayon AC en un point D intérieur ...
Deux cercles (Γ₁) et (Γ₂) de même rayon se coupent en deux points B et C. Soit M le milieu de BC.
D'un point A de la circonférence de (Γ₁), on mène les droites AB et AC qui coupent respectivement ...
Dans un repère Oxy avec sa première bissectrice Δ, on trace un cercle de rayon unité qui a pour centre ω à l’intérieur de l’octant (Ox, Δ), passe par O et coupe Ox et Δ aux points A et B. On trace ...
Soient un triangle ABC et son orthocentre H. Le cercle de diamètre BC coupe les côtés AB et AC respectivement aux points D et E. La droite DE coupe la droite BC au point F. Démontrer que la perpendiculaire ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit H un hexagone, qui admet un centre de symétrie et dont le bord est sans point double. Q1 Prouver que H, reproduit à volonté, permet de paver le plan. Pour obtenir ...
Soient un triangle ABC et O le centre de son cercle circonscrit. Sur les médiatrices des côtés AB,BC et CA du triangle on trace respectivement les points F,D et E. Q₁ Démontrer que les perpendiculaires ...
Zig a fabriqué quatre plaques en bois qui ont la forme de triangles rectangles dont les huit angles non droits forment une progression arithmétique : 10°,20°,30°,…,80° et la plus petite ...
Trois points K,L et M sont donnés dans le plan. On sait qu’ils sont respectivement les milieux de trois côtés de même longueur AB,BC et CD d’un quadrilatère ABCD. Q1 Reconstituer à la règle et au compas ...
Prouver qu’il est possible de placer six cubes en bois de mêmes dimensions de sorte que chacun d’eux touche les cinq autres avec des zones de contact d’aires strictement positives.
Thérèse ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Deux cercles (C1) et (C2) sont sécants en C et D.La perpendiculaire à CD en C coupe C1 en A et C2 en B. Le cercle (C3) de diamètre AB coupe (C1) en E et ...
Problème proposé par Georges Camguilhem Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle. La bissectrice intérieure de l’angle en A coupe (Γ) en A1, celle de l’angle en B en B1, celle de l’angle en ...
On donne un segment AB de longueur 2. Les points X,Y,Z sont choisis dans l’espace de sorte que ABX est un triangle équilatéral et ABYZ est un carré. Démontrer que les orthocentres des triangles ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Le cercle C1 de rayon 10 cm, a son centre O1 mobile sur la droite D1. Le cercle C2 de rayon 10 cm, a son centre O2 mobile sur la droite D2, sécante oblique à D1 ...
Problème proposé par Augustin Genoud A Chocovillage, les enfants reçoivent toujours des morceaux de chocolat de forme cylindrique. Ils se les partagent entièrement de manière que tous en reçoivent ...
Trois cercles de même centre ont pour aires respectives 2pi, 3pi et 4pi. D'un point A du cercle extérieur on mène des tangentes aux deux autres cercles. Quel angle font ces tangentes ...
Problème proposé par Pierre Jullien Donner au moins deux solutions différentes à la découpe d'un carré en deux coups de ciseaux pour obtenir un rectangle d'or. Nota : dans un rectangle d'or le rapport ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On cherche à recouvrir un disque de diamètre supérieur à 1 avec deux morceaux d’un carré de côté 1 . Est-ce possible et si oui pour quels diamètres ?
Dominique ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Sur l'ellipse E de centre O, on trace le diamètre B0B et sur un même côté de E et dans le sens trigonométrique on place les points C, A, et D de sorte que les ...
La Mère Veilleuse prépare une donation-partage (inégalitaire) au profit de ses trois fils portant sur un champ qui a la forme d’un quadrilatère concave ABCD d’une surface de 80 ares. Elle a fait ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Deux ellipses E1 et E2 ont dans le plan deux points A et B en commun. Soit un point M du plan qui n’appartient pas à ces deux ellipses. La droite [MA] coupe E1 ...
Le fameux corsaire Barbe Noire avant de mourir le 22 novembre 1718 sur l'île d'Ocracoke avait laissé le testament suivant : « Le long des côtes de mon île(1), il y a six beaux arbres(2). J’ai choisi ...
Un vase cylindrique de rayon R et de hauteur h est rempli d’eau. Un cube solide de dimension a est posé sur le vase selon la figure ci-contre de sorte que sa diagonale principale est verticale et ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On trace un triangle ABC, un point M du cercle circonscrit (Γ), puis la droite de Simson D1 qui passe par les projections sa, sb et sc de M respectivement sur ...
Problème proposé par Raphaël Nanchen A la fin d’un cours de mathématiques sur les aires et volumes, Zig et Puce discutent du prisme droit que le professeur a dessiné au tableau: ...
Dans un triangle acutangle ABC on trace les hauteurs BD et CE. Les tangentes en D et en E au cercle circonscrit au triangle ADE se rencontrent au point P. La médiatrice de AP rencontre la parallèle ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soient ABC un triangle et G son centre de gravité. Soit Δ une droite passant par G. La parallèle à Δ passant par A coupe la droite (BC) en A’. La parallèle à Δ passant ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Les cercles Ω de centre O et Ω’ de centre O’ sont orthogonaux. AB est un diamètre de Ω et C est un point quelconque de Ω’. Les droites [AC] et [BC] recoupent ...
1ère énigme : prouver que tout polyèdre convexe à 2010 faces comporte au moins deux faces qui ont le même nombre d’arêtes. 2ème énigme : prouver que si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de ...
Rangez par ordre croissant les nombres rangez par ordre croissant leurs différences. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2004
solution ...
Prenant 4 entiers consécutifs, je forme la somme de leurs carrés. Montrez que -- c'est aussi la somme de 3 carrés, -- ce ne peut être la somme de moins de 3 carrés. Problème proposé par ...
Quelles années ont 3 vendredis 13 au XXIe siècle ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2004 solution
Dans cette maison, il y a 18 ouvertures (portes et fenêtres). Chaque pièce a quatre ouvertures, dont deux sur l'extérieur. Combien la maison a-t-elle de pièces ? Problème proposé par Christian ...
Des jeunes gens sont assis autour d'une table. Sauf le premier, qui est le plus riche, chacun a un euro de moins que son voisin de gauche. Au signal, le premier donne un euro à son voisin de ...
J'ai un dictionnaire en p volumes. Pour trouver n mots, combien de volumes (en moyenne) devrai-je ouvrir?
(On suppose que chaque volume contient le même nombre de mots, grand devant n).
...
Avec les mêmes hypothèses que dans le problème G10020 (``Vague à lame'') : les vagues successives sont des variables aléatoires indépendantes de même loi de probabilité, quelle est la probabilité ...
Dans un dé à jouer cubique, dont les faces sont marquées de points en nombre de 1 à 6, chaque paire de faces opposées totalise 7 points. Avec cette contrainte il n'existe que 2 dés, images l'un ...
Un triangle rectangle a ses trois côtés mesurés par des nombres entiers qui sont, pour l'hypoténuse, l'âge de Dunabla, et pour un des côtés, le nombre obtenu en échangeant le chiffre des dizaines ...
Les bissectrices extérieures des angles A et C d'un triangle ABC se coupent en un point J de son cercle circonscrit. Que pouvez-vous en conclure ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
Dans le centre d'examen de Z***, vont concourir 5 taupins. La salle qui leur est dévolue a la forme d'un triangle équilatéral de 10 mètres de côté. Comment placer les 5 candidats de façon que ...
Lors d'une sortie en mer, un coup de vent a plié le mât de ce voilier à quelque hauteur au-dessus de sa base, et son extrémité touchait le pont à 4 mètres de son pied. Dûment renforcé, le mât ...
Neuf mouches volent dans mon salon, de dimensions 4 x 5 x 2,50 mètres. Montrez qu'à tout instant on peut en trouver deux éloignées de moins de 3,45 mètres. Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
Soit un triangle quelconque ABC et AA',BB',CC' ses médianes. Montrer que : a) Il est toujours possible de construire un triangle ayant ces 3 médianes pour côtés, b) L'aire du triangle ainsi obtenu ...
Soit un carré ABCD de 10 cm de côté. Sur le côté AB on choisit le point E tel que AE = 3 cm. Construire à la règle et au compas le point F sur le côté BC tel que EF = AE + FC. D618-solution Yves ...
x,y,z étant des nombres non négatifs de somme 1, quels sont le minimum et le maximum de D=yz+zx+xy-xyz ? (On ne recourra pas à la notion de dérivée.)
Problème proposé par M. D. Indjoudjian, ...
J'appelle ``nombre joli'' un nombre entier, strictement positif, dont les chiffres (en écriture décimale) sont tous différents et vont strictement en croissant de gauche à droite. a) Combien ...
Ajoutant 7967 au double d'un carré, j'obtiens un autre carré. Quels sont ces carrés?
Enigme proposée dans sa lettre à Carcavi d'août 1659, parue dans La Jaune et la Rouge d'avril 2012 ...
Le nombre de 6 chiffres abcdef est le carré de la somme abc+def. Quel est-il ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2010
solution
Quand je n'étais pas encore en retraite, mon réveil sonnait le matin vers six heures et demie. A cet instant, les aiguilles des heures et des minutes étaient équidistantes de la verticale. Quelle heure ...
Un nombre n, ajouté aux deux entiers qui l'encadrent, donne un cube ; ce même nombre n ajouté aux quatre entiers qui l'encadrent, donne un carré. a) Montrez qu'il y a une infinité de nombres ...
Une photo prise juste après le match montre côte à côte 3 joueurs portant les numéros 1, 3 et 6. La photo donne à voir un nombre de 3 chiffres multiple de 7. Quel est ce nombre ? Problème paru ...
On a démontré que tout entier assez grand est décomposable en somme de 16 puissances quatrièmes au plus. a) Montrez que cet énoncé serait faux si on remplaçait 16 par un nombre strictement inférieur ...
Comme chacun sait, les Martiens n'ont que 4 doigts à chaque main et, en conséquence, comptent en base 8 et non 10. Dans la division de 7654321 par 1234567 faite par un Martien, quel est le quotient ...
