Quelles sont les valeurs possibles pour le reste de la division de (n-2)! par n ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2014
solution
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Un nombre parfait est un entier égal à la somme de ses parties aliquotes (ses diviseurs à l'exception de lui-même) ; exemple : $6=1+2+3$. On en connaît actuellement 48, tous pairs, la plupart très grands. ...
Soit un nombre premier qui est la somme des carrés de trois nombres premiers distincts. Quelles propriétés générales pouvez-vous en donner ? Sur des exemples, vérifiez que ces nombres sont aussi
a/ ...
Déterminer trois entiers a,b,c positifs, tels qu'aucun ne divise les deux autres et que
PPCM(b,c)PPCM(c,a)PPCM(a,b) = abc.PGCD(a,b,c) avec a+b+c minimum.
Problème paru dans La Jaune et la ...
>L'entier n étant donné, on calcule pour k=1 à n les termes k!k.C(n,k)/nk. Quelle est leur moyenne ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2018
solution ...
L'équation x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0, où a,b,c,d sont des coefficients rationnels, a quatre racines s,t,u,v dont les deux premières ont une somme rationnelle r.
Montrer que si u+v n'est pas égal ...
x,y,z étant des réels positifs, déterminer le domaine de variation de l'expression
Problème paru dans La Jaune et ...
On creuse un puits rectiligne mais oblique jusqu'à ce qu'il débouche de l'autre côté de la Terre (supposée sphérique et homogène). On l'aménage (vide poussé + confinement magnétique ?) pour qu'un mobile ...
Une façon curieuse (et compliquée) d'écrire l'entier 6 est
6=RAC(16+6.RAC(7))+RAC(16-6.RAC(7)).
RAC(n) est la racine carrée du nombre n.
Dénombrer, pour m=6 et m=14, les différentes représentations ...
Evaluer au moyen des fonctions élémentaires la somme des séries de terme général :
a/ \arctan(2/n2),
b/ \arctan(1/n2).
Problème proposé par D. Indjoudjian, paru dans La Jaune ...
Quelles lignes du triangle de Pascal ont 3 termes consécutifs en progression arithmétique ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2019
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Quatre bornes A,B,C,D sont reliées par cinq résistances a,b,e,c,d joignant AB, BC, BD, CD, DA respectivement. Si l'on applique une tension entre les bornes A et C, quel courant va traverser ...
Si la déduction est reine en mathématiques, l'observation a aussi son apport. C'est ainsi qu'Eugène Catalan (X 1833) énonce en 1892 le ``théorème empirique'' : Le sextuple de tout nombre impair ...
Les nombres abondants sont les entiers n strictement inférieurs à la somme de leurs diviseurs (n exclu). Sauriez-vous montrer la propriété suivante : tout entier assez grand est somme de deux nombres ...
En écrivant trois nombres entiers et leur somme (qui a 4 chiffres), j'ai utilisé une fois et une seule chacun des chiffres de 0 à 9. Quelle peut être cette addition ?
Problème ...
Quels sont les points à coordonnées entières de la courbe d'équation x(x+1)(x+7)(x+8)=y2 ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2019
solution
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Etant donnés n nombres ak, quelle valeur de x minimise la somme des valeurs absolues |x-ak| ?
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2019
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Pour tout entier n au moins égal à 1, je note z(n) le nombre de zéros de son écriture binaire. Soit la série de terme général un=xz(n)/n. Supposant x positif, quel est son rayon de convergence ? Quand ...
Un entier k et un réel x vérifient
1/k=1/[2x]+ 1/[5x]
(on note [y] la partie entière de y).
Quelles sont les valeurs possibles de k ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre ...
Ecrire 2020 comme somme de deux carrés, de plusieurs façons.
Ecrire 2020 comme somme de deux nombres triangulaires.
Montrer que 2020 n'est ni somme, ni différence de deux cubes.
Problème ...
Quel est le plus grand entier multiple de 11 qui s'écrive avec dix chiffres distincts ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2020
solution
On donne f(1)=3,
f(0) n'est pas nul,
f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).
Déterminer f(7).
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2020
solution ...
La série de terme général un(a)=n2/an, où a est donné plus grand que 1, est convergente. Quelle est la somme S(a) de cette série ? Montrer en particulier que S(2)=6.
Problème ...
Soient a,b,c,d,e,f six entiers positifs dont la somme s est un diviseur de l'expression bc+ca+ab-ef-fd-de, ainsi que de l'expression abc+def. Prouver que s est un nombre composé.
Problème ...
Résoudre le système d'équations
(y-z)2+l2=2l (y+z), (z-x)2+m2=2m(z+x), (x-y)2+n2=2n(x+y).
Problème proposé par Emile Lemoine (X 1860), paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2021
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Pour n entier = 1 à 16, les valeurs du polynôme P(n)=n2-n+17 sont des nombres premiers, de 17 à 257.
Pour n plus grand, ce polynôme fournit encore des nombres premiers (359, 397, 479, ...
Déterminer les nombres qui sont à la fois triangulaires (entiers de la forme p(p+1)/2), pentagonaux (de la forme q(3q-1)/2) et hexagonaux (de la forme r(2r-1)).
Problème paru dans La Jaune ...
Ajoutant quatre nombres premiers, on obtient un nombre premier, et tous les chiffres écrits sont distincts. Combien de ces additions pouvez-vous reconstituer ?
Problème paru dans La Jaune et ...
Comment choisir u0 pour que la suite définie par la récurrence un+1 = u0 - 4/un n'ait que des termes positifs ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2021
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Résoudre le système
x(a-x)=y(b-y)=z(c-z), x/a+y/b+z/c=2.
Problème proposé par Emile Lemoine, paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2021
solution
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A partir d'un couple (a0,b0) de réels positifs, on fait pour tout n positif la suite d'opérations an+1= moyenne arithmétique de an et bn, bn+1= moyenne géométrique de an+1 et bn.
Le couple (an,bn) ...
Un entier est dit ``montant'' quand ses chiffres (en base 10) forment, de gauche à droite, une suite non décroissante. Soit un polynôme P(x) à coefficients rationnels qui prend une valeur entière pour ...
Trouver les nombres premiers x, y, z sachant que x-y, y-z, x-z sont aussi des nombres premiers.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2021
solution
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Existe-t-il des points à coordonnées rationnelles sur la courbe d'équation xy(y-x)=1 ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2022
solution
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Montrer que (8 sin x - sin(2x))/6<x<(tan x +2 sin x)/3 pour 0<x<\pi/2.
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2022
solution ...
J'écris un nombre de 19 chiffres (pas tous les mêmes) et les 18 nombres qui en dérivent quand on fait une permutation circulaire des 19 chiffres. Quelles valeurs peut prendre le PGCD de ces 19 nombres ...
On calcule et on range par valeur croissante toutes les fractions inférieures à 1 et de dénominateur inférieur à un million. Quelles sont les fractions encadrant immédiatement 1794/2022 ?
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Entre Nancy et Metz, sur l'autoroute A31, il y a un flux continu de camions dans les deux sens. En allant de Nancy à Metz à 110 km/h, sur environ 37 km, le passager d'une voiture a compté 300 camions ...
Ce nombre Nk, de 3k chiffres en base 8, comporte deux blocs de k chiffres séparés par k zéros. Elevant au cube l'entier représenté par les k premiers chiffres et l'entier représenté par les k derniers ...
Dans la progression arithmétique 24k+1, voici 3 questions. a/ montrer qu'il y a les carrés et les puissances paires de tous les nombres premiers plus grands que 4, b/ montrer que 24k+1 est un carré ...
Le terme général de cette série est $u_n=4n/(1+4n4)$. Quelle est sa somme ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2022
solution
Une boucle circulaire (rayon R) de fil de fer tourne à la vitesse constante omega autour de son diamètre vertical Oy. Une perle (masse m) y est enfilée, sans frottement. Déterminer ses positions d'équilibre ...
q est un nombre réel, et il existe 3 entiers positifs distincts tels que q+a, q+b, q+c forment une progression géométrique.
Montrez que q est rationnel.
Problème paru dans La Jaune et la ...
Dans une certaine base de numération, on utilise des chiffres a, b, c, d, ..., en plus des chiffres de 0 à 9 qui gardent leur signification habituelle, en sorte que la suite des entiers naturels s'écrit ...
Dunabla a passé une série de tests, notés par des entiers de 1 à 5, et obtenu la moyenne m. Au test suivant, il n'a que 1 ; combien de tests doit-il encore passer pour avoir en final au moins m comme ...
Trouver trois carrés impairs consécutifs dont la somme est un nombre à 4 chiffres égaux.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2023
solution
Soit la suite définie par
Evaluer le produit infini
Problème proposé par Les Reid, paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2023
solution
Un parcours est fait de segments joignant des points du plan à coordonnées entières, la médiatrice de chaque segment passant par deux points à coordonnées entières. Existe-t-il un parcours ...
Pour tout réel positif x, je définis f(x) comme le nombre d'entiers n de l'intervalle (x^,x)$, bornes exclues-. Quels sont les ensembles de valeurs de x donnant à f(x) la valeur 619 ? 620 ? ...
Soit (2q-1,2q+1) un couple de nombres premiers jumeaux. Montrez que l'expression (2q-2)!+2q3+3q2 est multiple de 4q2 -1, et réciproquement.
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La ...
Trouver les paires d'entiers ayant des entiers pour moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. Peut-on en donner une formule générale ?
Problème proposé par Gérard Bertaux, paru ...
Soit P(X) un polynôme de degré supérieur à 1. Montrer que le polynôme P(P(X)) - X est divisible par le polynôme P(X) - X. En outre, si P(X) est à coefficients entiers (relatifs), le quotient est à ...
Existe-t-il des entiers positifs n tels que le produit des chiffres de n soit p = n2 -10n - 22 ?
Problème proposé par D. Indjoudjian, paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2023 ...
On considère la suite infinie de terme général u_n=10101... 01 où le chiffre 1 est suivi de n couples 01 : u_1=101, u_2=10101, etc.
Y a-t-il des nombres premiers dans cette suite ?
Problème ...
Dans ce Club, les membres ont entre 51 et 100 ans. Montrer que dans toute rencontre qui réunit au moins 9 d'entre eux, on peut trouver deux sous-ensembles de membres ayant un même total pour ...
On place n nombres entiers positifs aux sommets d'un polygone convexe de telle manière que chaque nombre est un diviseur de la somme des deux nombres qui lui sont adjacents. Les quotients correspondants ...
a) Parmi les entiers de 1 à n, j'en choisis p à qui je donne la couleur rouge. Aux n-p autres je donne la couleur jaune. Pour k=1 à n je définis la fonction f(k)= rang de k parmi les entiers ...
Michel Dorrer s'est intéressé au nombre de dessins différents qu'on peut obtenir en "pavant" un cadre rectangulaire formé de 6x12 cases carrées, avec 18 pièces rectangulaires 1x2 et 36 ...
Choisir 1006 objets parmi 2012 peut se faire de N façons. Quels sont
a) le nombre de chiffres de N ? b) le premier chiffre de N ? c) le dernier chiffre non nul de N ?
Problème paru ...
Placer dans le plan 24 cercles de même rayon (par exemple 24 pièces de monnaie) de sorte que chacun soit tangent à 3 autres, sans recouvrements entre ces cercles.
Problème proposé par Les ...
Reconstituez l'addition
ELEVE + LECON = DEVOIR
où, selon l'usage, chaque chiffre a été codé par une lettre, toujours la même.
Problème proposé par Georges Vendryes, paru dans La Jaune et la ...
Dans cette division, les chiffres autres que le zéro de fin d'opération ont été remplacés par *, sauf un (toujours le même), qui a été remplacé par a à chacune de ses apparitions. Rétablissez les ...
Trouver la fraction irréductible BETA/SCAN, sachant que son développement décimal est : 0,CARVACARVACARVA... Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2005
solution ...
On donne n points dans l'espace, sans qu'il y en ait 4 dans le même plan. Combien de segments au maximum peut-on tracer en reliant certains de ces points, sans former de tétraèdre, c'est à dire ...
Cette addition DCLIX + DLXVI = MCCXXV était juste pour un Romain ; remplacez chaque lettre par un chiffre arabe (toujours un même chiffre pour une même lettre, des chiffres différents pour des lettres ...
RIEN x 3 = CLOUS
Reconstituer la multiplication sachant que : -- Un chiffre est toujours représenté par la même lettre -- Une lettre ne peut représenter qu'un chiffre -- Il n'y a pas d'autre chiffre ...
La nouvelle salle de banquet du roi Arthur est si sonore qu'autour de la table ronde, chaque convive ne peut causer qu'avec ses deux voisins immédiats. En conséquence, Arthur programme une ...
Entrant en A et sortant en M, il faut passer par les 16 sommets, en suivant les pointillés, et sans passer deux fois au même endroit.
Problème proposé par Bernard Irion, paru ...
Un réseau électrique est formé des arêtes (de même résistance R) d'un polyèdre régulier. Quelle est la résistance équivalente, quand on applique une tension entre deux sommets du tétraèdre, ...
Dans le graphe ci-dessous de 6 sommets et 9 arêtes, chaque sommet a une valeur qui est un entier de 1 à 15. Chaque arête a pour valeur la différence des valeurs des deux sommets qu'elle relie. ...
Retrouvez le chiffre représenté par chaque lettre dans les mots suivants, sachant que SEACHT est un nombre premier, OCHT est un cube, NAOI est un carré et DEICH est une somme de deux carrés (ces ...
Je veux peindre ma collection de polyèdres réguliers, de façon que chaque face reçoive une couleur différant de celles des faces adjacentes (ayant un côté commun avec elle) du même polyèdre. ...
Quand Dunabla colorie en rouge ou en bleu les segments joignant six points 2 à 2, il obtient au moins 2 triangles unicolores.
Quel est le nombre minimum de triangles unicolores s'il y a sept points ...
La maison A est reliée à B qui est reliée à C qui est reliée à D ; E est reliée à C et F à B. Les distances sont telles que chacun des entiers de 1 à 15 est, en kilomètres, la distance séparant une ...
Une droite D et une courbe C étant données dans un plan, on fait correspondre à chaque point M de C l'intersection L de D avec la normale en M à C, et le point M' de cette normale tel ...
Si P est un point intérieur à un triangle acutangle ABC, montrer que
BC.BP.CP + CA.CP.AP + AB.AP.BP est supérieur ou égal à BC.CA.AB.
Où placer P pour que l'égalité ait lieu ?
Problème proposé ...
On plie un carré ABCD selon une sécante oblique, en sorte d'amener le sommet C en M sur le côté DA. Le segment BC vient en LM qui coupe AB en K. Montrer que le cercle inscrit au triangle AKM a un ...
Un triangle équilatéral PQR est inscrit dans un triangle quelconque ABC (P sur BC, Q sur CA, R sur AB). On construit sur BC le triangle équilatéral CB$ de même sens que PQR.
a) Montrer que le quadrilatère ...
Montrez sans calcul, par une simple figure, que Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2003
solution
Etant donné un triangle ABC, placer des points D sur BC, E sur CA, F sur AB, de façon à minimiser le périmètre du triangle DEF. Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2011
...
On considère les coniques ? d'excentricité e donnée, dont un foyer F est fixe et la directrice correspondante passe par un point fixe H. On demande l'enveloppe de ces coniques, les lieux du centre ...
Soit un tétraèdre quelconque ABCD. Déterminer son intersection avec le plan $JK, donné par les points I dans la face ABC, J dans la face ACD et K dans la face BCD. Problème paru dans La Jaune ...
Etant donné un triangle acutangle, trouver 3 façons de le découper par des segments de droites de façon à former 3 parties ayant chacune un axe de symétrie. Problème paru dans La Jaune et la ...
Les sommets d'un polygone régulier ont tous des coordonnées (dans un certain système d'axes, qui peuvent être obliques) de la forme (ma,nb) avec a et b longueurs données, m et n entiers. Montrer ...
Montrer que AB2+BC2+CD2+DA2-AC2-BD2 est positif ou nul, quels que soient les points donnés A,B,C,D, pas nécessairement dans le même plan.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai ...
Soit ABCDEFGHIJKLMNO un polygone régulier convexe à 15 côtés. Les diagonales AG,EI,FL sont-elles concourantes ? Sinon, quelle est l'aire du triangle qu'elles forment ?
Problème paru dans La ...
Soit ABC un triangle et G son centre de gravité.
On désigne par A', B', C' les milieux respectifs de BC, CA et AB. Les points P, Q, R, S, T et U sont les centres de gravité respectifs des triangles ...
C'est un carré ABCD de centre O, amputé du triangle AOD. Découpez-le en morceaux permettant de former un carré sans lacune ni recouvrement, avec aussi peu de morceaux que possible. Problème paru ...
L'anse de panier est une courbe ABA' analogue à la demi-ellipse ayant AA' comme grand axe et OB comme demi-petit axe. On donne O,A,A',B. Je trace l'anse de panier avec trois arcs de cercle, AM (centré ...
Soit Gamma une conique à centre (ellipse ou hyperbole), et deux de ses cercles bitangents, (C1) centré sur le grand axe et tangent à Gamma en M et N, et (C2) centré sur l'autre axe et tangent ...
Soit un quadrilatère ABCD, et sur ses côtés AB,BC,CD,DA respectivement quatre points P,Q,R,S tels que AP/PB=BQ/QC=CR/RD=DS/SA=k. Déterminer le rapport des aires de PQRS et ABCD ; déterminer k pour ...
Soit dans un plan une courbe C, et sur C une corde variable MN vue du point F sous un angle constant. Montrer que le point de contact T de MN avec son enveloppe se déduit aisément du point ...
Un parallélépipède a un volume de 216 cm3 et 216 cm2 comme somme des aires de ses faces. Que peut-on en déduire? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2011
solution ...
Tracer le milieu d'un segment AB donné, a) si l'on vous donne une règle (non graduée), un crayon, et une droite (D) parallèle à AB (rien de plus) ; b) sans règle, mais avec un compas. Problème ...
Un triangle ABC rectangle en C est inscrit dans un cercle. Soit K le milieu de l'arc BC qui ne contient pas A, N le milieu du segment AC et M le deuxième point d'intersection de KN avec le cercle. ...
Quel est le nombre minimal de triangles en papier nécessaires pour recouvrir entièrement les six faces d'un cube sans qu'il y ait la moindre superposition de ces triangles ? Problème proposé ...
Jules a tracé un cercle de rayon a ; Romain a tracé dans le même plan un cercle de rayon b qui coupe le premier en C et D. Une tangente commune à ces deux cercles les touche en A et B respectivement. ...
Quel point remarquable du triangle est l'isobarycentre des 4 centres des cercles inscrit et exinscrits ?
Problème du Cercle Pierre de Jumièges, paru dans La Jaune et la Rouge de février 2013 ...
Dans un tétraèdre de volume V, 4 arêtes (3 à 3 non coplanaires) ont pour longueurs a,b,c,d. Quelle est la plus grande valeur possible de V/(a+b+c+d)3 ?
Problème paru dans La Jaune et ...
Un quadrilatère circonscrit à un cercle a 36, 81 et 49 comme longueurs de 3 côtés (consécutifs dans cet ordre). Quelle est la longueur du 4e côté ?
Si de plus le quadrilatère est inscrit dans un ...
