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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Les fractions égyptiennes Imprimer Envoyer

 

Un entier n > 1 étant donné, existe-t-il des entiers x, y et z tels que 4/n = 1/x + 1/y + 1/z ?

Les fractions 1/x, 1/y et 1/z dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier naturel positif, sont appelées fractions égyptiennes. 4/n doit donc être la somme de trois fractions égyptiennes.

Il existe des solutions paramétriques couvrant les entiers de certaines progressions arithmétiques.
Par exemple:
4/(2k)=1/k+1/(2k)+1/(2k)
4/(24k+5)=1/(6k+2)+1/(72k2+39k+5)+1/(144k2+78k+10).
Mais on n'en connaît pas pour n=24k+1, par exemple.
On conjecture néanmoins (c'est la conjecture d'Erdös-Straus) que le problème est possible pour tout n.

 
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