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E6. Autres casse-tête
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Deux tours de cartes ont fait l'objet des problèmes E614 et E615. En voici un troisième qui est dû au mathématicien américain William Fitch Cheney . Les amateurs le jugent à juste titre remarquable car il est relativement simple à mettre en oeuvre: Diophante demande à une personne prise au hasard dans la public de choisir 5 cartes d'un jeu de 52 cartes et de les donner à Hippolyte. Cette personne choisit par exemple : Valet de Trèfle, 2 de Coeur, Roi de Pique, 7 de Trèfle et 10 de Carreau. Hippolyte écrit sur un morceau de papier le nom de 4 cartes parmi les 5 qui ont été choisies dans l'ordre suivant : 7 de Trèfle, 10 de Carreau, 2 de Coeur et Roi de Pique puis donne le papier à Diophante qui quinze secondes plus tard, répond : « La cinquième carte est le Valet de Trèfle ». Il n'y aucune carte biseautée, aucun clin d'oeil entre Diophante et Hippolyte, aucun signe particulier sur la papier transmis par Hippolyte à Diophante. C'est un problème de pure logique. Comment le résoudre ? Généralisation : quelle est la taille maximale n du paquet de cartes avec lequel Diophante est toujours en mesure de deviner la cinquième carte ? Pierre Henri Palmade et Daniel Collignon ont répondu au problème.
Autres commentaires
Ce tour de cartes a donné lieu à une abondante documentation en majeure partie accessible sur Internet.
- Jean Paul Delahaye responsable de la rubrique Logique et Calcul de la revue Pour la Science lui a consacré un article très complet et très clair dans le numéro 340 de février 2006. Voir Le merveilleux tour des cinq cartes pages 90 à 94.On consultera par ailleurs avec beaucoup d’intérêt
- le site de Jean Paul Davalan où est présentée une simulation du tour lui-même: http://perso.orange.fr/jean-paul.davalan/jeux/cartes/cinq/index.html
- ainsi que l'article suivant : Using a card trick to teach discrete mathematics de Shai Simonson et Tara S. Holm
On y trouvera la formule selon laquelle avec un jeu de n cartes il est possible de deviner d cartes à condition que n = d!+ d - 1. Ainsi avec d = 5, il est possible de faire le tour avec 124 cartes.
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