Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes non résolus Nombres premiers Les nombres de la forme n^n +1 sont-ils premiers ?
Les nombres de la forme n^n +1 sont-ils premiers ? Imprimer Envoyer

Pour n = 1, 2 et 4, on observe que nn+1 donne des nombres premiers. En effet 1 + 1 = 2, 22+1 = 5 et 44+1 = 257 sont bien des nombres premiers. En existe-t-il d'autres ? 

Commentaire de Jean Moreau de Saint Martin:

Pour que nn  +  1 soit premier avec n>1, n doit ĂŞtre une puissance de 2 : s'il avait un diviseur impair i (n=id), nn  +  1 admettrait le diviseur nd  +   1.
Ainsi les nombres premiers de cette forme sont un sous-ensemble des nombres premiers de la forme N2  + 1 : si n = 2k, N = 2^(k.2^(k-1)).
En outre, comme nn  + 1=2^(k.(2^k))  + 1, le mĂŞme argument montre que k ne doit pas avoir de diviseur impair. Il faut k=2^m.
Finalement, nn  + 1 = 2^(2^(m + 2^m))  + 1, c'est un nombre premier de Fermat, 2^(2^f) + 1 avec f = m + 2m.
Pour m = 0, 1, 2, etc., n=2, 4, 16, etc., f = 1, 3, 6, etc. et seuls les deux premiers (5 et 257) sont des nombres premiers.
On peut donc rĂ©pondre partiellement Ă  la question posĂ©e : s'il existe d'autres nombres premiers nn +  1, c'est qu'il existe des nombres de Fermat premiers plus grands que F4 =65537. Cela semble peu probable.

 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional