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La conjecture de Kimberling Imprimer Envoyer

On part de la séquence des nombres entiers naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ? et l'on construit successivement les séquences avec l'algorithme suivant  qui définit la séquence à partir de la séquence :

  • pour k , on écrit le (i+k)-ème terme puis le (i-k)-ème terme de ,
  • on écrit ensuite les termes restants de .

On obtient le tableau suivant :

 

On passe, par exemple, de de la manière suivante : on a i = 3. Pour k=1,2 et 3,on écrit le (i+k)-ème terme et le (i-k)-ème terme de , soit successivement le 4 ème terme, le 2 ème terme, le 5 ème terme, le 1 er terme et enfin le 6 ème terme , ce qui donne 6, 2, 7, 4 et 8. Ces cinq nombres étant écrits, on écrit les nombres restants 9,10, 11, 12,?.

Les éléments diagonaux du tableau figurant dans les cases coloriées en jaune constituent la séquence de Kimberling : 1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9, 18, 24, 31, 14,?.. La conjecture est la suivante : tout entier N quelconque figure-t-il dans cette séquence ?

 

 
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