| A153. Multiplier pour décroître, diviser pour croître |
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Q1 :Multiplier pour décroître… A partir d’un entier naturel N, on peut effectuer deux opérations : - le multiplier par n’importe entier positif, ou - supprimer tout ou partie des zéros qu’il contient. Exemple : On part de 239. Ce nombre multiplié par 42 donne 10038. On supprime les deux zéros et il reste 138. On multiplie par 5 et le résultat est 690. D’où 69 en supprimant le dernier zéro, etc… En partant de n’importe quel entier naturel >10 fixé à l’avance, dans quelles conditions peut-on aboutir à un entier inférieur ou égal à 9 ? Q2 : …et diviser pour croître. A partir d’un entier naturel N, on peut effectuer deux opérations : - le diviser par n’importe lequel de ses diviseurs s’il n’est pas premier, ou - ajouter entre les chiffres ou à la fin du nombre autant de zéros que l’on souhaite. Exemple : On part de 37. On ajoute deux zéros pour obtenir 3070. On divise le nombre par 2 et on obtient 1535. On ajoute un zéro et on obtient 10535. qui divisé par 7 donne 1505,etc…. En partant d’un nombre inférieur à 10, dans quelles conditions est-on certain d’obtenir un entier naturel quelconque fixé à l’avance ? Source : d’après Olympiades de mathématiques de Saint Petersbourg |
