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| A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode) |
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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Soit un entier m > 0. On désigne par φ-1(m) l’image réciproque de m par l’application φ, c'est-à -dire l’ensemble des entiers positifs n tels que φ(n) = m. Q1 Déterminer les entiers impairs m tels que φ-1(m) n’est pas vide. Q2 Prouver que pour tout entier m pair φ-1(m) contient un nombre fini d’éléments. Q3 Prouver que si les entiers n et m sont relativement premiers entre eux et φ(n) = m, alors 2n appartient à φ-1(m). Q4 Déterminer le plus petit entier pair m tel que φ-1(m) est vide. Q5 Déterminer φ-1(26), φ-1(44) , φ-1(50) ,φ-1(72) , φ-1(98), φ-1(2020) et plus généralement φ-1(2. 7k) avec k entier > 0. |
