Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
| A1731-Accords parfaits |
 |
 |
|
Problèmes proposés par Michel Lafond
Problème n°1 On recherche les nombres premiers distincts p1, p2 , p3,….pk qui s’accordent entre eux de sorte que les cumuls successifs p1 + p2, p1 + p2 + p3, …,  sont tous des carrés parfaits. Déterminer la plus grande valeur possible k0 de k et donner trois suites de k0 nombres premiers distincts < 100 qui ont cette propriété.Problème n°2 On recherche les nombres premiers distincts p₁, p₂ , p₃,….pk, k ≥ 3, qui s’accordent entre eux de sorte que les entiers 2p1 + p2, 2p2 + p3, ….,2pk-1 + pk, 2pk + p1 sont tous des carrés parfaits. On dit alors que les k nombres premiers forment un circuit parfait d’ordre k. Déterminer un ensemble de sept nombres premiers à partir duquel on peut former au moins dix circuits parfaits distincts(1) d’ordres 3,4,5,6 et 7. Représenter le graphe correspondant. Pour les plus courageux : déterminer un ensemble de nombres premiers distincts < 2020 permettant d’obtenir un circuit parfait d’ordre > 20. Problème n°3 Déterminer les couples de nombres premiers distincts p1 et p2 qui s’accordent entre eux de sorte que les sommes p1 + 6p2 et p1 + 9p2 sont deux carrés parfaits consécutifs et les sommes 4p1 + p2 et 5p1 + p2 sont aussi deux carrés parfaits consécutifs. (1)Nota : deux circuits sont distincts si au moins un arc de l’un diffère d’un arc de l’autre.  Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint Martin,Raymond Bloch,Nicolas Petroff,Louis Rogliano,Antoine Verroken et Michel Lafond ont résolu tout ou partie du problème. |
