Pour tout entier k > 2,on s’intéresse aux suites S(k) non décroissantes de k nombres premiers pas nécessairement distincts tels que le carré du k-ième terme est égal à la somme des carrés des k – 1 autres termes.
Q₁ Démontrer qu’il n’y a pas de suite S(k) pour k ≤ 5.
Q₂ Déterminer toutes les suites S(6) et S(8).
Q₃ Parmi les suites S(7) et S(9) qui ont le plus grand nombre possible de termes distincts, déterminer celles dont le dernier terme est le plus petit possible.
Q₄ Trouver le plus petit entier k tel que S(k) est constituée exclusivement de nombres premiers distincts. Donner un exemple d’une telle suite.

Source : d’après Olympiades suisses de mathématiques octobre 2013

Solution

Jean Moreau de Saint-Martin,Daniel Collignon,Marc Humery,Pierre Henri Palmade,Paul Voyer,Patrick Gordon et Philippe Laugerat ont résolu le problème.