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| A1832. Un départage épineux |
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Zig affirme qu’il a tracé quatre points dans le plan tels que toutes les distances qui séparent les points pris deux à deux sont des entiers impairs. Puce affirme que c’est impossible. Qui a raison ?  Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Renfer,Jean Nicot,Maurice Bauval et Patrick Gordon ont résolu le problème. De leur côté Jean Drabbe et Daniel Collignon ont identifié la source même du problème qui a été posé aux candidats du concours Putnam de décembre 1993 (problème B5) et ont donné les références bibliographiques correspondantes. L'ouvrage de K. Kedlaya édité par la "Mathemical Assocation of America" mentionne cinq solutions dont la plus courte et la plus élégante, trouvée par la plupart de nos lecteurs, est fondée sur le déterminant de Cayley-Menger qui exprime le volume d'un n-simplexe. Quand n = 3,on retrouve la formule de Piero della Francesca qui permet de calculer le volume du tétraèdre en fonction des dimensions des arêtes .Enfin Antoine Verroken se réfère à l'analyse de L.Piepmeyer selon laquelle le nombre maximum D de distances en entiers impairs qui séparent n points dans le plan pris deux à deux est égal à D=n2/3 + r(r-3)/6 avec r = 1,2 ou 3 et n ? r modulo 3. |
