Q1 : Démontrer qu’il existe un seul chiffre impair x distinct de 5 tel que l’entier N = 38xxx....xxx obtenu par concaténation de A = 38 et d’un nombre quelconque de chiffres x est toujours composé.
Q2 : Prouver (sans l’usage d’un quelconque automate) que les quatre nombres suivants sont composés:
- N = 34 867 844 010 000 008 101 (nombre à 20 chiffres)
- N = 2011²⁰¹² + 2011²⁰¹¹ + 1
- N = 16²⁰¹¹ + 22²⁰¹¹ + 56²⁰¹¹ + 77²⁰¹¹
- N = 4¹⁴ + 6¹⁵ + 3³⁰
Q3 : Les termes de la suite a_n sont des nombres entiers strictement positifs et pour tout n>=1,a_n+1 = a_n² + 5a_n + 1. Est-il possible qu’avec un nombre a₀ convenablement choisi, chaque terme de la suite soit un nombre composé ?