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A1. Pot pourri

A1981.Les clairières de la forêt

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A1981.Les clairières de la forêt

Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine si le segment qui le relie à O passe par au moins un autre arbre. On abat tous les arbres invisibles depuis l’origine. Démontrer que la forêt contient alors des clairières carrées de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Localiser les clairières carrées de côtés 3 et 4 situées strictement à l’intérieur du secteur défini par 0 < x < y et dont le centre est à une distance inférieure à 2011 de l’origine.

Solution

Vincent Pantaloni,Claude Felloneau,Michel Lafond,Pierre Henri Palmade,Louis Rogliano,Pierre Jullien,Antoine Verroken et Philippe Laugerat ont résolu le problème.
Jean Drabbe nous signale que la propriété de la première question est démontrée à partir d'un résultat plus général obtenu par Herzog-Stewart dans leur ouvrage "Pattern of visible and non visible lattices points".
On note que si les clairières de côté 3 qui résultent de l'abattage de 2*2 = 4 arbres sont très nombreuses dans le secteur 0 < x < y, il y a une seule clairière de côté 4 (après abattage de 9 arbres) située à une distance inférieure à 2011 de l'origine. Les clairières de côtés 5,6,...sont très éloignées de l'origine et se comptent sur les doigts d'une main comme le montrent les analyses de Vincent Pantaloni et de Jean Drabbe.Il était donc opportun de préciser que la forêt était immense.

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