Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
| A120. Produits d'entiers divisés par leur somme |
 |
 |
 
Trouver cinq entiers positifs distincts tels que pour n'importe quel triplet choisi parmi eux le produit des trois nombres est divisible par leur somme.
A120-solution Pierre Gineste propose une suite dont le terme maximum est 11550. Voici sa solution : Il faut trouver 5 nombres xi tels que: x_i*x_j*x_k=a*(x_i+x_j+x_k) avec a entier (relation R1) On recherche des nombres de la forme n*N avec n=1,2,3,4,5  la relation (R1) devient: i*j*k*N^3=a*(i+j+k)*N soit a=i*j*k*N^2/(i+j+k) (R2)(i+j+k) vaut 1,2,3 ?. 12. On peut donc prendre pour N le PPCM des 12 nombres 1 à 12. PPCM= 2^3*3^2*5*7*11=27720. Les 5 nombres 27720, 55440, 83160, 110880 et 138600 répondent à la question. On peut aussi rechercher les plus petits nombres qui répondent à la question. Remarquons alors que: 1/ dans (i+j+k) qui vaut entre 1 et 12, le facteur premier 2 est au maximum à la puissance 3 (pour 8), 3 à la puissance 2 (pour 9), les autres à la puissance 1. Dans (R2), N est présent à la puissance 2: il suffit donc de prendre 2 à la puissance 2 et 3 à la puissance 1: on peut donc prendre pour N=PPCM/6=4620 2/ Pour que (i+j+k) soit pair, il faut que l'on ait l'un des 3 nombres i,j,k pair: il faut donc que i*j*k soit pair. Si l'on a le facteur 2 à la puissance 1 dans N, on aura donc 2 à la puissance 3 dans (i*j*k*N^2) quand (i+j+k) est pair en particulier quand i+j+k=8. Il suffit donc de prendre N=PPCM/12=2310 La série de 5 entiers recherchée est donc: 2310, 4620, 6930, 9240, 11550. Existe-t-il une série ayant un 5° élément inférieur à 11550? |
