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Problèmes ouverts

A1. Pot pourri

A1912. Cubes et carrés consécutifs

Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.

A1912. Cubes et carrés consécutifs

Montrer que si la différence des cubes de deux entiers consécutifs est le carré d'un entier N, alors N est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.

Solution

Jean Moreau de Saint Martin, Fabien Gigante, Pierre Henri Palmade, Jean Nicot et Claude Morin ont résolu le problème.

Daniel Collignon fait les commentaires suivants :

(a+1)^3 - a^3 = N² <=> (2N)² - 3(2a+1)² = 1 (équation de Pell-Fermat)

En supposant que N = (b+1)² + b², les valeurs de b solutions correspondent à la suite http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001571

D'où la référence à cet énoncé : V. Thebault, Consecutive cubes with difference a square, Amer. Math. Monthly, 56 (1949), 174-175.

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