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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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E606. La table tournante Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête
calculator_edit.png  

Aux quatre points cardinaux d’une table circulaire tournant autour de son centre, Diophante place quatre verres qui sont droits ou retournés. Il bande les yeux d’Hippolyte et lui demande de mettre les verres dans le même sens en respectant le protocole suivant : Diophante fait tourner la table et quand la table s’est arrêtée, Hippolyte qui n’a aucun moyen avec ses yeux bandés de distinguer les positions des verres, peut toucher deux verres au maximum, qu’ils soient adjacents ou en diagonale. Il peut les orienter à sa guise c’est à dire les laisser en l’état, en retourner un ou retourner les deux. Diophante fait à nouveau tourner la table et le processus se répète pour une deuxième opération.
Lorsque les verres ont tous les quatre la même orientation, Diophante avertit immédiatement Hippolyte que le but est atteint. Bien entendu, dans la position initiale, les verres n’ont pas la même orientation.
1)    Montrer qu’Hippolyte après un nombre fini de manipulations arrive toujours à mettre les verres dans le même sens. Quel est le nombre minimum d’opérations ?
2)    Diophante met des gants de lutteur à Hippolyte si bien que ce dernier, toujours à l’aveugle, n’est plus en mesure d’apprécier si un verre est droit ou retourné et c’est Diophante qui exécute les directives d’Hippolyte. Existe-t-il un moyen pour Hippolyte de faire mettre tous les verres dans le même sens ? Si oui, quel est le nombre minimum d’opérations ?
3)    Diophante complique encore un peu les choses et demande que les verres soient tous droits. Comment Diophante, à l’aveugle et avec ses gants de lutteur, doit-il s’y prendre pour mettre tous les verres droits en un minimum d’opérations? Dans ce cas, la position initiale peut comporter tous les verres retournés !
4)    Enfin Diophante libère Hippolyte de ses gants mais lui laisse les yeux bandés. Il place six verres sur les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans la table circulaire. Hippolyte peut toucher quatre verres, les retourner ou les laisser en l’état comme bon lui semble. Montrer qu’Hippolyte après un nombre fini de manipulations arrive toujours à mettre les verres dans le même sens. Combien de manipulations pour les mettre tous droits ?

Sources : - Ronald Graham et Persi Diaconis (Université de Stanford) cités par Martin Gardner – Pour la Science  n°18 - Avril 1979
- site Ken Duisenberg (novembre 1997)


 
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