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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E688. Sauver les apparences Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête

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Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Jullien
On considère un treillis métallique qui est  inscrit dans un cube de côté n entier ≥3 et dans lequel on peut loger des cubes pleins de dimension unité en nombre ≤ n3.

Exemple : pour n = 3,ci-après  un treillis vide,un treillis contenant 27 cubes pleins et un treillis contenant 10 cubes pleins.

                E688                                           

Q1 Exprimer en fonction de n le plus petit nombre de cubes pleins de dimension unité que l’on doit placer à l’intérieur du treillis de sorte que celui-ci,vu de face, de profil et de dessus (perpendiculairement à chacune des faces),fait apparaître des carrés pleins (c’est à dire sans trou) de côté n.

Q2 Même question que précédemment avec la contrainte supplémentaire suivante : à partir de n’importe quel petit cube unité, on peut atteindre un autre cube unité le long d’une chaine de cubes telle que deux cubes adjacents ont une face commune.

Q3 Exprimer en fonction de n le plus petit nombre de cubes pleins de dimension unité que l’on doit placer à l’intérieur du treillis de sorte que de n’importe quel point de vue, le treillis garde la même apparence qu’un treillis rempli de n3 cubes ou en d’autres termes, si on soumet le treillis aux rayons incidents d’une source lumineuse quelconque, le contour convexe de l’ombre portée ne contient jamais un quelconque trou.



On trouvera sur le site Bienvenue en Mathématiques magiques de Thérèse Eveilleau la réponse à la première question avec des animations qui illustrent très clairement le remplissage d'un grand cube 3x3 à l'aide de 27 petits cubes. pdfPatrick Gordon a égalemnt répondu à cette première question.
De son côté PIerre Jullien donne pdfla solution de la troisième question.
Enfin pdfMarie-Christine Piquet donne la solution complète du problème.


 
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