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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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E676. Deux ratios extrêmes Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête

calculator_edit.png  

Soit (T) un triangle dont les coordonnées des sommets dans un repère Oxy sont toutes entières.
Q1 Le triangle ABC est un triangle (T) qui contient en son intérieur (au sens strict, c’est à dire côtés exclus) un seul point P de coordonnées entières. La demi-droite AP coupe BC en un point D. Trouvez la valeur maximale du ratio AP/PD. Justifiez votre réponse.
Q2 Le triangle ABC est un triangle (T) qui contient en son intérieur (toujours au sens strict) deux points et deux seulement P et Q de coordonnées entières. Les demi-droites AP et AQ coupent BC en D et E. Trouvez la valeur maximale des ratios AP/PD et AQ/QE. Justifiez votre réponse.




pdfBernard Vignes a résolu le problème dont la première question a été posée à la compétition Putnam de 1981(problème A6).
Les valeurs maximales des ratios, respectivement 5 dans Q1 et 9 dans Q2 ainsi que les configurations possibles des triangles dont les sommets sont de coordonnées entières et qui contiennent respectivement en leur intérieur un seul (ou deux seulement) points(s) de coordonnées entières s'obtiennent aisément avec le logiciel  Geogebra.
 
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