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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E552. Les deux cordes du dodécagone Imprimer Envoyer
E5. Enigmes logiques

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On trace les sommets d’un dodécagone sur la circonférence d’un cercle de telle sorte que les longueurs des arcs qui séparent les sommets adjacents prennent les valeurs entières de 1 à 12 cm dans un ordre arbitraire. On trace toutes les cordes qui joignent les sommets deux à deux. Démontrer qu’au moins deux d’entre elles sont perpendiculaires.



Décembre 2012
Ce problème est une variante du problème n°7 donné aux candidats de la catégorie "Senior"· du Tournoi des Villes 2011 (session d'automne). La solution officielle de ce problème donnée par les organisateurs du Tournoi est incorrecte.
Jean Moreau de Saint Martin, Michel LafondpdfPierre Leteurtre David Amar et Antoine Verroken ont fait, chacun de son côté, une analyse très fouillée de ce problème sans démontrer formellement que pour tout dodécagone qui délimite des arcs prenant les valeurs entières de 1 à 12, au moins deux cordes parmi toutes celles qui joignent les sommets deux à deux, sont perpendicliares entre elles.

La propriété selon laquelle deux cordes sont perpendiculaires entre elles est équivalente à l'existence d'une partition des entiers de 1 à 12 placés dans un ordre arbitraire sur la circonférence du cercle en quatre sous-ensembles disjoints A,B,C,D tels que les sommes des nombres appartenant à A + C et à  B + D sont égales l'une et l'autre à 39 = (1 + 2 + 3 ... + 12)/2 = 78/2.
Michel Lafond, Pierre Leteurtre et le professeur D.Constales de l'université de Gand en Belgique (sur demande d'Antoine Verroken) ont conçu des programmes informatiques qui ont analysé ces partitions de manière exhaustive.Leurs conclusions se rejoignent toutes et l'on peut toujours tracer au moins deux cordes perpendiculaires quelle que soit la position des arcs de mesures entières 1,2,...,12 sur la circonférence du cercle. A titre d'illustration, on peut se reporter aux programmes écrits par Pierre Leteurtre qui donnent toutes les solutions pour des polygones de 7,8,11 et 12 côtés: Programmes_PL_E552.rar avec la notice d'utilisation.
Il n'en reste pas moins que la démonstration purement "manuelle" reste à trouver.

Printemps 2013
On lira avec intérêt l'analyse complémentaire effectuée par pdfChristian Boyer.

Août 2017
pdfGwenaël Robert donne une solution du problème qui ne fait pas appel à un quelconque programme informatique...
 
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