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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E545. Le triangle de Steinhaus Imprimer Envoyer
E5. Enigmes logiques

calculator_edit.png computer.png  

Soit un triangle équilatéral ABC de côté n entier ≥ 2. Sur la première ligne du côté horizontal BC, on écrit une suite de n caractères constitués de 0 et de 1 puis sur une deuxième ligne on écrit une suite de n ‒ 1 caractères selon la règle suivante: deux chiffres "1" ou deux chiffres "0" adjacents de la première ligne génèrent le chiffre "1" placé à cheval au dessus d'eux. Sinon le chiffre généré est un "0". Selon la même règle, on poursuit le remplissage des lignes supérieures avec des suites de n ‒ 2, n ‒ 3,..caractères jusqu'à la n-ième ligne du sommet A où on écrit un seul chiffre.
Exemple: avec n = 5 et la suite 1 1 0 1 0 de la première ligne, on obtient le triangle suivant:

                                           E545
 
Le triangle est appelé triangle de Steinhaus (1) si à l'intérieur du triangle ABC le nombre de "0" est identique au nombre de "1". On note que le triangle de l'exemple ci-dessus avec 7 chiffres "1" et 8 chiffres "0" n'est pas un triangle de Steinhaus.
Q1 Déterminez les valeurs de n ≤ 20 et pour chacune d'elles une suite de la première ligne qui permettent de construire des triangles de Steinhaus.
Q2 Pour quelles valeurs de n est-il toujours possible de construire des triangles de Steinhaus? Justifiez votre réponse.
Q3 Pour un entier m quelconque qui rend possible la construction d'un triangle de Steinhaus, trouvez une méthode de construction d'une suite de m caractères de la première ligne. Record à battre m = 240!

(1)H. Steinhaus: One hundred problems in elementary mathematics (1963)


pdfFabien Gigante,pdfMichel Goudard et pdfSimon Pellicer ont très bien décortiqué le problème et trouvé les algorithmes permttant de battre largement le record m = 240.
Le triangle de Steinhaus a donné lieu à de nombreuses études théoriques dont on trouve ci-après quelques exemplaires accessibles par les noms de leurs auteurs:
- pdfHeiko Harborth,pdfJoseph M. Brunat et Montserrat Maureso et pdfShalom Eliahou.

 
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