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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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D218. Le dodécagone de Kurschak Imprimer Envoyer
D2. Géométrie plane : autres problèmes
calculator_edit.png  

A partir de cette très belle mosaïque conçue par Kurschak, trouver une méthode simple pour calculer la surface du dodécagone abcdefghijkl inscrit dans un cercle de rayon unité.



Soit O le centre du dodécagone qui est en même temps le centre du cercle circonscrit à ce dodécagone. On constate que le dodécagone abcdefghijkl est pavé avec 12 triangles équilatéraux (ex : abm,bcn,?) coloriés en jaune dont les côtés a sont égaux à ceux du dodécagone et 24 triangles isocèles (ex :Oam,Obm,?) tous égaux entre eux et coloriés en vert ou rouge et dont les côtés valent respectivement 1,a et a.

 

Par ailleurs le carré PQRS est rempli avec 16 triangles équilatéraux de la famille abm et 32 triangles isocèles de la famille Oam.

 

Il en résulte que la surface du dodécagone est égale aux 12/16 = 24 /32 = 3/4 de la surface du carré PQRS. Or le côté de ce carré est égale au diamètre du cercle de centre O circonscrit au dodécagone, c'est à dire 2.

La surface du dodécagone vaut donc 3.


 
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