Soit un triangle ABC quelconque . Démontrer les propriétés suivantes :
1) Il existe un point D dont on donnera la construction à la règle et au compas tel que le quadrilatère ABCD est bicentrique, c’est à dire qu’il admet un premier cercle de centre O qui lui est circonscrit et un deuxième cercle intérieur de centre I tangent à ses quatre côtés aux points P,Q,R et S.
2) Le point E d’intersection des diagonales AC et BD du quadrilatère ABCD est aligné avec les points O et I.
3) Les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires entre elles et se rencontrent au point E.
4) Le quadrilatère KLMN dont les sommets sont les pieds des perpendiculaires issues du point E sur les côtés du quadrilatère PQRS, est lui-même un quadrilatère bicentrique dont E est le centre du cercle inscrit et qui est homothétique au quadrilatère ABCD.