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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G227. L'heureux élu Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements
calculator_edit.png  

Variante n°1
Sur les n sommets d'un polygone régulier on inscrit les entiers naturels 1,2,3,..n dans le sens des aiguilles d'une montre.
En partant de l'entier 1 dans le sens des aiguilles d'une montre, on compte 1,2,3,1,2,3,1,2,3,.. et on efface successivement les entiers sur lesquels on compte le chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3). Après avoir fait le tour complet du polygone, on poursuit le processus avec les entiers restants sans rupture dans le comptage 1,2,3,1,2,3,... jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un heureux élu désigné par A1(n,i).

Exemple : n = 8 et i = 1.Les 8 entiers 1 à 8 sont inscrits sur les sommets d'un octogone. On décide d'éliminer les entiers sur lesquels on compte 1.On élimine donc 1,4,7 puis 3 et 8 puis 6 et enfin 2. Il reste le nombre 5 et l'on a A1(8,1)=5


Selon le même processus, si on garde les entiers sur lesquels on compte le chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3), on obtient un heureux élu désigné par B1(n,i).
Exemple : n = 8 et i = 2.On garde les nombres 2, 5 et 8 à l'issue du premier tour puis 8 à l'issue du second tour. L'heureux élu est donc B1(8,2)=8


Calculer les 6 termes A1(2006,i) et B1(2006,i) pour i = 1, 2 et 3.


Variante n°2

On inscrit les entiers naturels 1,2,3..n sur une seule et même colonne. En partant de l'entier 1 et en allant vers le bas, on compte 1,2,3,1,2,3,1,2,3,.. et on efface comme précédemment les entiers sur lesquels on a compté un chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3). On poursuit le processus en recomptant 1,2,3,1,2,3,.. à partir du premier nombre figurant en haut de la colonne jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un heureux élu désigné par A2(n,i).
Exemple : n = 8 et i = 1.On efface successivement 1,4,7 puis en repartant du premier nombre figurant en haut de la colonne, on efface 2 et 6 puis on repart à nouveau du haut de la colonne et on efface 3. Enfin on élimine 5 et l'heureux élu est A2(8,1)= 8.

Si on garde les entiers sur lesquels on compte le chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3), on obtient un heureux élu désigné par B2(n,i).
Exemple : n = 8 et i = 2.On garde les nombres 2, 5 et 8 à l'issue du premier tour puis 5 à l'issue du second tour. L'heureux élu est donc B2(8,2)= 5.


Calculer les 6 termes A2(2006,i) et B2(2006,i)pour i = 1,2 et 3.


Existe-t-il des entiers n tels que pour i = 1,2 et 3, A1(n,i) = A2(2006,i)? B1(n,i)=B2(2006,i)?
Et réciproquement existe-t-il des entiers n tels que pour i =1,2 et 3, A1(2006,i)=A2(n,i)? B1(2006,i)=B2(n,i)?


Nota : ce problème est une variante du problème G204 appelé problème de Josèphe dans lequel on élimine un entier sur deux au lieu d'en éliminer un ou deux sur trois.


 
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