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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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G287. Numismatique en Diophantie Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements

calculator_edit.png  

L’Institut Monétaire de la Diophantie dont la monnaie est l’ouro (Ö), soucieux d’éviter la prolifération des pièces de monnaie, a émis une série limitée  de 12 pièces dont les valeurs faciales sont des entiers distincts d’ouros de telle sorte que n’importe quel montant entier de 1 ouro à N ouros – N fixé par décret – peut être payé avec 8 pièces ou moins, tout ou partie de ces pièces pouvant avoir la même valeur faciale.
Q1 Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver une série  de 12 pièces qui satisfait N = 6543 Ö (1).
Q2 Avec l’aide d’un automate, trouver une série de 12 pièces qui satisfait N = 13000 Ö.
Q3 Pour les plus courageux disposant d’un puissant automate : déterminer le plus grand entier N tel qu’il existe au moins une série de 12 pièces distinctes telles que toute somme comprise entre 1 et N inclus peut être réglée avec au maximum 8 pièces pas nécessairement distinctes.

(1)Cette question est le problème n°3 posé aux candidats du niveau 11 des Olympiades russes de mathématiques au printemps 2013. C'est une variante du problème bien connu du timbre-poste. Une documentation abondante en anglais (« Postage Stamp problem ») est disponible sur Internet.


pdfPierre Henri Palmade, pdfJean Nicot et pdfBernard Vignes  les uns et les autres avec des approches différentes ont répondu à la première question sans faire appel à un automate.
S'agissant de la deuxième question, la palme revient à pdfChristian Boyer qui obtient un très beau score de 19621 avec la séquence 1, 8, 13, 58, 169, 295, 831, 1036, 1864, 3162, 7005, 8182 dont les huit premiers termes sont donnés dans l'article pdfSome Extremal Postage Stamp Bases de Michael F. Challis.
Si l'on se réfère à l'abondante documentation en langue anglaise sur le "Postage Stamp Problem",actuellement les plus grands ordinateurs ne sont pas assez puissants pour déterminer le plus grand entier N tel que 8 pièces choisies parmi 12 donnent toutes les valeurs entières de 1 à N. Comme le laisse entendre Christian Boyer, cet inconnu N est probablement supérieur à 20000.
 
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