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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G156. Un bonneteau diabolique Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités
calculator_edit.png  

Méphisto invite Zig à jouer une variante du bonneteau avec trois pièces de monnaie. La première en bronze a le chiffre 5 sur le côté « pile » et le chiffre 1 sur le côté « face ». La deuxième en argent a le même chiffre 3 sur les deux côtés. La troisième en or a le chiffre 2 sur le côté « pile» et le chiffre 6 sur le côté « face ». Méphisto invite Zig à choisir une pièce puis choisit lui-même l’une des deux pièces restantes. Chacun à tour de rôle lance la pièce qu’il a choisie et le joueur dont le chiffre affiché est le plus élevé reçoit 10 € du perdant. Dans toute partie chacun des deux joueurs effectue 1000 lancers indépendants les uns des autres.
Dans une première partie, Zig qui ignore que les pièces ont été préalablement pipées, choisit naturellement la pièce en or dont la somme des deux chiffres est la plus élevée tandis que Méphisto choisit la pièce en argent. A l’issue de la partie, Zig perd une somme de l’ordre de 1000 €.
Méphisto laisse à Zig la possibilité de jouer une seconde partie. Zig choisit alors la pièce en argent qui vient de porter chance à Méphisto.Celui-ci retient alors la pièce en bronze. Cette deuxième partie se termine par une nouvelle perte de Zig qui est le double de la précédente.
Méphisto, grand seigneur, laisse une dernière chance à Zig qui prend logiquement la pièce en bronze et s’attend à un gain significatif compensant les deux pertes antérieures. Quel est le résultat final de cette troisième partie?



Tous nos lecteurs,dans l'ordre alphabétique,David Amar,Daniel Collignon,Francesco Franzosi,Patrick Gordon,Philippe Laugerat,Jean Moreau de Saint Martin,José Pacios,Gilles Thomas et Paul Voyer ont aisément démontré que dans la troisième partie Zig perd encore plus que dans les deux premières ( perte de 3400 € vs pertes de 1000 € et de 2000 €) alors qu'il s'attendait (naïvement) à un gain significatif. Le bonneteau était donc bien diabolique.
On retrouve dans ce problème (classique)le paradoxe de Condorcet de non-transitivité dans une chaîne d’événements:

-si Pr{X? >X?} > 1/2 ou encore X? probablement plus grand que X?,
-si Pr{X? >X?} > 1/2 ou encore X? probablement plus grand que X?,
-si Pr(X? >X?} > 1/2ou encore X? probablement plus grand que X?,
alors on n’a pas nécessairement Pr{X? >X?}> 1/2 ou encore X? n’est pas nécessairement plus grand que X?.


 
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