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B. Carrés et figures magiques

B127. Le périple magique d'un cavalier sur un échiquier

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B127. Le périple magique d'un cavalier sur un échiquier

B. Carrés et figures magiques

Le périple d'un cavalier sur un échiquier traditionnel (8x8) est défini par la suite des mouvements de ce cavalier tels que chaque case est visitée une fois et une seule. Si on numérote chacune des cases de 1 à 64, le périple est appelé « magique » si le carré résultant est lui-même magique, c'est à dire si la somme des termes de chaque ligne , de chaque colonne et de chacune des deux diagonales principales donne la même somme appelée constante « magique ».Existe-t-il un périple magique ?

Afin d'encourager les chercheurs, Jean Moreau de Saint Martin nous rappelle que le grand mathématicien Euler s'était déjà penché sur le problème et avait trouvé un carré dit semi-magique dans lequel les lignes et colonnes donnent bien la constante magique mais pas les diagonales. Le parcours correspondant est donné dans le document Carré d'Euler .

Solution

Yann Denef nous a adressé le 25 mai 2006 le message suivant :

J'ai lu la rubrique « Quelques problèmes non résolus». La dernière rubrique « Le périple magique d'un cavalier sur un échiquier » est maintenant résolue. Il n'y a pas de démonstration formelle mais il existe plusieurs démonstrations par l'exemple. Les machines sont maintenant assez puissantes pour donner dans un « temps raisonnable » (moins d'un mois) tous les chemins possibles d'un cavalier sur un échiquier, produisant des carrés magiques.

L'algorithme que j'ai écrit il y a 2 ans fournit 140 solutions indépendantes de carrés magiques. S'il n'y a pas d'erreur, ce sont les seules solutions. Aucune de ces solutions ne produit des carrés avec une valeur de diagonale égale à 260. Les résultats sont présentés sur ce site http://ydenef.free.fr/index.htm

Vous trouverez à l'adresse http://ydenef.free.fr/280solutions_10tab.htm la page présentant toutes les solutions.

Un autre algorithme développé en 2003 par Guenter Stertenbrink et Jean Charles Meyrignac, référencé sur le site http://magictour.free.fr/ produit les mêmes 140 solutions ce qui tend à montrer que l'ensemble de l'arbre des solutions possibles est bien parcouru.

Je pense qu'on peut conclure qu'il n'existe pas de périple magique (carrés avec diagonales magiques) d'un cavalier sur un échiquier

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