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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A723. La preuve par x,y,z (1er épisode) Imprimer Envoyer
A7. Problèmes de pesées

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n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact d’au moins un objet avec le plus petit nombre possible de pesées  faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.

Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faudrait un pesée supplémentaire pour démontrer le poids exact des deux autres objets.

Quand n est égal respectivement à 8, 54 et 2015, Zig affirme que  x,y et z pesées lui suffisent.Puce toujours sceptique devant les fanfaronnades de Zig demande une preuve pour chacune des expériences. Trouver ces preuves et donner les valeurs correspondantes  de x,y et z.

Pour les plus courageux :pour n quelconque,trouver une borne supérieure b(n) du nombre minimal de pesées permettant de démontrer le poids exact d'au moins l'un des n objets.

Ce problème conçu par Alexander Shapovalov a été posé aux Olympiades russes de mathématiques en 2000 pour la valeur n = 8.Tanya Khovanova,Konstantin Knop et Alexey Radul  en ont fait une analyse très complète qui a paru dans le "Journal of Integer Sequences" sous le titre :pdfBaron Münchhausen's sequence. Leur article aboutit au résultat remarquable et surprenant, selon lequel deux pesées au maximum suffisent pour identifier de manière certaine au moins l'un des poids. En d'autres termes, b(n) ≤ 2 quel que soit n.
Pour n prenant respectivement les valeurs 8,54 et 2015,on obtient les valeurs  x = 1 puis y = z = 2 qui ont été trouvées par pdfPierre Henri Palmade,pdfMichel Lafond et pdfBernard Vignes.


 
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