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A630. Ensembles additivement séparés

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Problème proposé par Michel Lafond
Un ensemble E d’entiers naturels de cardinal N est dit additivement séparé si les 2^N parties de E ont des sommes distinctes deux à deux.
Ainsi E = {1, 2, 4, 8} est additivement séparé car ses 16 parties ont pour sommes les entiers de 0 à 15.
Mais E’ = {3, 5, 6, 7} est aussi additivement séparé car ses 16 parties ont pour sommes distinctes:
0, 3, 5, 6, 7,
3 + 5 = 8, 3 + 6 = 9, 3 + 7 = 10, 5 + 6 = 11, 5 + 7 = 12, 6 + 7 = 13,
3 + 5 + 6 = 14, 3 + 5 + 7 = 15, 3 + 6 + 7 = 16, 5 + 6 + 7 = 18
et 3 + 5 + 6 + 7 = 21,
De plus MAX (E’) = 7 est plus petit que MAX (E) = 8.
Trouver pour chaque k appartenant à {2,3,4,5,6,7,8,9,10} un ensemble E_k ayant k éléments et avec MAX (E_k ) minimal.

Solution

Daniel Collignon et

Michel Lafond ont résolu le probème.

A noter que ce problème a été posé pour la première fois par P. Erdös en 1969 et a fait l'objet de la part de nombreux auteurs: J.H. Conway, Richard Guy, Tom Bohman et alii d'analyses diverses sous le titre: "Sets of integers whose subsets have distinct sums"
On peut consulter avec intérêt l'article de

Tom Bohman intitulé "A sum packing problem of Erdös and the Conway-Guy sequence"

Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0.

Q₁ : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23.

Quel entier s'écrit ab ?

Q₂ : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139.

Quels entiers s'écrivent ab ?

Q₃ : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13.

Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ?

Q₄ : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48.

Quel entier s'écrit abc ?

Q₅ : abcd9e41f est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168.
Quels sont les chiffres a,b,c,d,e et f?

Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.

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