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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A615. Jeux de partitions Imprimer Envoyer
A6. Partages et partitions
calculator_edit.png  

Je choisis un entier k et je fais l’inventaire du nombre p(k) des partitions de cet entier obtenues en additionnant les entiers 1,2,…,k pris dans l’ordre croissant avec ou sans répétition. Ainsi avec l’entier 5, j’ai 7 partitions possibles : 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 5 = 1 + 1 + 1 + 2, 5 = 1 + 1 + 3, 5 = 1 + 2 + 2, 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 et 5 = 5 , soit p(5 ) = 7.
Dans un tableau à double entrée où figure en première colonne la liste complète de ces p(k) partitions, j’établis cinq colonnes qui contiennent respectivement pour chaque partition:
- le nombre de chiffres 1,
- le nombre de nombres distincts,
-& le nombre de signes + utilisés,
- le décompte des partitions qui comportent des nombres tous distincts,
- le décompte des partitions qui comportent des nombres tous impairs.
Je calcule enfin les totaux correspondant à ces cinq colonnes.

Par exemple, pour k = 5, j’obtiens le tableau suivant :
A615









Q1 J’observe que les totaux des deux premières colonnes « nombre de 1 » et « nombre de nombres distincts » sont identiques, à savoir 12. De même le nombre de partitions avec des nombres tous distincts est identique au nombre de partitions avec des nombres tous impairs, à savoir 3.Démontrer que ces deux propriétés sont vraies quel que soit l’entier k.
Q2 J’établis le tableau pour un certain entier k tel que p(k) est égal à l’unité près à la différence entre le nombre total de signes + utilisés et le nombre total de 1 contenus dans toutes les partitions.Que vaut k ?
Q3 Pour cette valeur de k, je décide d’écrire les partitions avec les entiers pris dans un ordre quelconque, combien y a-t-il de partitions supplémentaires par rapport à p(k) ?



Paul Voyer et Antoine Verroken ont constaté que la plupart des variables mentionnées dans ce problème étaient répertoriées dans l'encyclopédie en ligne des sequences d'entiers(O.E.I.S.).C'est ainsi que l'on a sous les codes suivants:
A000009: nombre de partitions ayant des nombres tous distincts =nombre de partitions avec des nombres tous impairs.
A000041: nombre de partitions de l'entier n.
A000070: nombre total de nombres "1" écrits dans les partitions de n.
A076276: nombre total de signes "+" utilisés pour écrire les partitions de n.
Dès lors la résolution des trois questions ne soulève aucune difficulté.
On trouvera dans A615-Jeux_de_partitions-solution.pdf une justification des résultats obtenus.
 
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